1. Determine tildea(z), onde:
    (a) an=n;
    (b) an=n^2;
    (c) an=cos (omega n), omega in C;
    (d) an=sin (omega n), omega in C;
    (e) an=1, se n for impar e an=0 do contrário;
    (f) an=2^n se n for par e an=(-1)^n do contrário;
    (g) an=1n se n>0 e a0=0;
    (h) an=1n+1;
    (i) an=1n^2+n, se n>0 e a0=0.

Passo 1

O enunciado pede a transformada-z de cada sequência (an)n>=0, ou seja
tildea(z)=sumn=0^inftyan,z^-n,
assumindo região de convergência adequada ( |z|>1 sempre que houver potências crescentes). Usaremos séries geométricas e fórmulas conhecidas como
sumn=0^infty x^n=tfrac11-x,
sumn=0^infty n x^n=tfracx(1-x)^2,
sumn=0^infty n^2 x^n=tfracx(1+x)(1-x)^3,
e sumn=1^infty x^n/n=-ln(1-x),
tudo com x=z^-1.

Passo 2

(a) Para an=n, com a0=0, usamos
sumn=0^infty n,x^n=x(1-x)^2,
logo com x=z^-1
tilde a(z)=sumn=0^infty n,z^-n =z^-1(1-z^-1)^2 =z(z-1)^2

Passo 3

(b) Para an=n^2, com a0=0, usamos
sumn=0^infty n^2,x^n=x(1+x)(1-x)^3,
logo
tilde a(z)=z^-1(1+z^-1)(1-z^-1)^3 =z(z+1)(z-1)^3

Passo 4

(c) Para an=cos(omega n), note que
cos(omega n)=tfrac12(e^jomega n+e^-jomega n).
Cada termo é série geométrica em e^pm jomegaz^-1. O resultado é
tilde a(z) =1-!z^-1cosomega1-2z^-1cosomega+z^-2

Passo 5

(d) Para an=sin(omega n), similarmente sin(omega n)=tfrac12j(e^jomega n-e^-jomega n). Dá
tilde a(z) =z^-1sinomega1-2z^-1cosomega+z^-2

Passo 6

(e) Para an=1 se n ímpar e 0 caso contrário, só somamos termos ímpares:
tilde a(z) =sumk=0^infty z^-(2k+1) =z^-11-z^-2

Passo 7

(f) Para an=2^n se n par e an=(-1)^n se n ímpar, separamos pares e ímpares:
sumk=0^infty a2kz^-2k =sumk=0^infty4^k z^-2k =11-4z^-2,
sumk=0^infty a2k+1z^-(2k+1) =-sumk=0^infty z^-(2k+1) =-z^-11-z^-2,
então
tilde a(z) =11-4z^-2-z^-11-z^-2 =z^2z^2-4-zz^2-1

Passo 8

(g) Para an=tfrac1n ( a0=0), usamos
sumn=1^inftyx^nn=-ln(1-x),
logo
tilde a(z) =sumn=1^inftyz^-nn =-ln(1-z^-1)

Passo 9

(h) Para an=tfrac1n+1 começando em n=0, nota-se
sumn=0^inftyx^nn+1 =-ln(1-x)x,
logo
tilde a(z) =-ln(1-z^-1)z^-1 =-z,ln(1-z^-1)

Passo 10

(i) Para an=tfrac1n(n+1) ( a0=0), usamos a identidade telescópica
tfrac1n(n+1)=tfrac1n-tfrac1n+1. Assim
tilde a(z) =sumn=1^inftyl(1n-1n+1r)z^-n =-ln(1-z^-1) -l[-zln(1-z^-1)-1r],
que simplifica para
tilde a(z)=1+(z-1)ln(1-z^-1)

Resposta

(a) tilde a(z)=z(z-1)^2
(b) tilde a(z)=z(z+1)(z-1)^3
(c) tilde a(z)=1-z^-1cosomega1-2z^-1cosomega+z^-2
(d) tilde a(z)=z^-1sinomega1-2z^-1cosomega+z^-2
(e) tilde a(z)=z^-11-z^-2
(f) tilde a(z)=z^2z^2-4-zz^2-1
(g) tilde a(z)=-ln(1-z^-1)
(h) tilde a(z)=-z,ln(1-z^-1)
(i) tilde a(z)=1+(z-1)ln(1-z^-1)

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