Determine o periodo, a imagem e faça o gráfico de um período completo das funções dadas abaixo:
f: R R dada por f(x)=-2+cos x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o período, a imagem e fazer o gráfico de um período completo da função $ f(x) = -2 + \cos x $.
Aqui, vamos trabalhar com funções trigonométricas, especificamente a função cosseno. Para resolver, vamos precisar entender como a função $ \cos x $ se comporta e como as transformações afetam seu gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o período da função. O período de uma função trigonométrica é o intervalo após o qual a função se repete.
A função básica $ \cos x $ tem um período de $ 2\pi $. Isso significa que a cada $ 2\pi $ unidades, o gráfico da função se repete.
No nosso caso, a função é $ f(x) = -2 + \cos x $. Aqui, o termo “-2” é uma translação vertical, que não afeta o período da função. Portanto, o período da função $ f(x) $ continua sendo $ 2\pi $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a imagem da função. A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores de saída possíveis (valores de $ f(x) $).
Sabemos que a função $ \cos x $ oscila entre -1 e 1. Ou seja, $ -1 \leq \cos x \leq 1 $.
Na nossa função $ f(x) = -2 + \cos x $, vamos somar -2 a todos os valores de $ \cos x $:
f(x)
cos x
Então, a imagem da função $ f(x) $ é o conjunto de todos os valores entre -3 e -1, ou seja, $ [-3, -1] $.

Passo 4

Por fim, vamos fazer o gráfico de um período completo da função $ f(x) = -2 + \cos x $.
  1. Eixo das abscissas (x): Vamos desenhar o eixo horizontal representando os valores de $ x $.
  2. Eixo das ordenadas (y): Vamos desenhar o eixo vertical representando os valores de $ f(x) $.
  3. Período: Sabemos que um período completa a cada $ 2\pi $ unidades. Então, vamos marcar de 0 a $ 2\pi $ no eixo x.
  4. Valores máximos e mínimos: A função oscila entre -3 e -1, então vamos marcar esses valores no eixo y.
  5. Forma da função: A função $ \cos x $ tem forma de onda, começando em seu valor máximo quando $ x = 0 $. Como temos uma translação vertical para baixo de 2 unidades, o ponto inicial será em -1.
  6. Desenho: Traçamos a curva da função começando em $ (0, -1) $, descendo até -3 em $ x = \pi $, voltando a subir para -1 em $ x = 2\pi $, completando um ciclo.
Gráfico de f(x) = -2 + cos x
Nota: Como não posso desenhar diretamente aqui, recomendo usar um software de gráficos ou uma calculadora gráfica para visualizar a função.

Resposta

  • Período: $ 2\pi $ unidades.
  • Imagem: $ [-3, -1] $.
  • Gráfico: O gráfico da função $ f(x) = -2 + \cos x $ é uma onda cosseno invertida verticalmente, deslocada 2 unidades para baixo, com amplitude 1, período $ 2\pi $ e oscila entre -3 e -1.

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