1- Seja n \in \mathbb{Z}_{+}. Dada a relação de congruência módulo n por a \equiv b(\bmod n) \Leftrightarrow a- b é divisível por n, mostrar que é uma relação de equivalência e descrever as classes de equivalência para n=1,2,3.

Passo 1

O enunciado dá a relação de congruência módulo n, definida por
a\equiv b\pmod{n}\quad\Longleftrightarrow\quad a-b \text{ é divisível por } n,éí
onde n\in\mathbb{Z}_{+}. O que se pede:
  • Mostrar que essa relação é uma relação de equivalência (ou seja, provar reflexividade, simetria e transitividade).
  • Descrever as classes de equivalência (os conjuntos de inteiros congruentes entre si) nos casos n=1, n=2 e n=3.
As informações relevantes fornecidas: n é um inteiro positivo e a definição de quando dois inteiros são congruentes módulo n.

Passo 2

Provar reflexividade.
Definição: uma relação é reflexiva se todo a\in\mathbb{Z} satisfaz a relacionado com a. Aqui devemos mostrar a\equiv a\pmod{n} para todo a.
Cálculo: para todo a tem-se a-a=0. O zero é divisível por n porque 0=n\cdot 0. Portanto a-a é múltiplo de n, isto é a\equiv a\pmod{n}. Conclusão: a relação é reflexiva.

Passo 3

Provar simetria.
Definição: uma relação é simétrica se a relacionado com b implica b relacionado com a. Aqui: se a\equiv b\pmod{n} então b\equiv a\pmod{n}.
Demonstração: suponha a\equiv b\pmod{n}. Então existe k\in\mathbb{Z} tal que a-b = n k. Portanto b-a = -n k = n(-k), que é múltiplo de n. Logo b\equiv a\pmod{n}. Conclusão: a relação é simétrica.

Passo 4

Provar transitividade.
Definição: uma relação é transitiva se a relacionado com b e b relacionado com c implicam a relacionado com c. Aqui: se a\equiv b\pmod{n} e b\equiv c\pmod{n} então a\equiv c\pmod{n}.
Demonstração: suponha a\equiv b\pmod{n} e b\equiv c\pmod{n}. Então existem k,\ell\in\mathbb{Z} tais que a-b = n k e b-c = n\ell. Somando as duas igualdades obtém-se
a-c = (a-b)+(b-c) = n k + n\ell = n(k+\ell),
ou seja, a-c é múltiplo de n. Logo a\equiv c\pmod{n}. Conclusão: a relação é transitiva.

Passo 5

Conclusão geral sobre equivalência.
Como a relação é reflexiva, simétrica e transitiva, ela é uma relação de equivalência em \mathbb{Z}. Por teoria geral, uma relação de equivalência particiona \mathbb{Z} em classes de equivalência. Agora vamos descrever explicitamente essas classes para o caso da congruência módulo n.

Passo 6

Definição e forma explícita de uma classe de equivalência.
A classe de equivalência de um a\in\mathbb{Z} é o conjunto
[a]=\{b\in\mathbb{Z}\mid b\equiv a\pmod{n}\}.
Mostraremos que essa classe é exatamente
[a]=a+n\mathbb{Z}=\{a+nk\mid k\in\mathbb{Z}\}.
Prova das duas inclusões:
  • Se b\in[a] então b\equiv a\pmod{n}, logo existe k\in\mathbb{Z} com b-a = nk. Assim b=a+nk, então b\in a+n\mathbb{Z}.
  • Se b=a+nk com k\in\mathbb{Z}, então b-a = nk é múltiplo de n, logo b\equiv a\pmod{n} e b\in[a].
    Portanto [a]=a+n\mathbb{Z}. Interpretação intuitiva: a classe de a contém todos os inteiros que dão o mesmo resto que a na divisão por n.

Passo 7

Representantes canônicos e número de classes.
Pelo algoritmo da divisão, para qualquer a\in\mathbb{Z} existem inteiros únicos q e r tais que
a = qn + r\quad\text{com}\quad 0\le r\le n-1.
Isso mostra que a\equiv r\pmod{n}, ou seja, cada classe tem pelo menos um representante em \{0,1,\dots,n-1\}. Se 0\le r<s\le n-1 então r\not\equiv s\pmod{n} (pois s-r é um inteiro entre 1 e n-1, não múltiplo de n), logo as classes [0],[1],\dots,[n-1] são distintas e cobrem todas as classes possíveis. Conclusão: existem exatamente n classes de equivalência módulo n, representadas por 0,1,\dots,n-1.

Passo 8

Descrição explícita das classes para n=1,2,3.
  • Para n=1: os representantes possíveis são apenas 0. De a= q\cdot 1 + 0 segue que todo inteiro é congruente a 0. Portanto
[0]=\mathbb{Z}.
Há apenas uma classe.
  • Para n=2: os representantes são 0 e 1. As classes são
[0]=\{2k\mid k\in\mathbb{Z}\}\quad\text{(números pares)},ú
[1]=\{2k+1\mid k\in\mathbb{Z}\}\quad\text{(números ímpares)}.úí
Essas duas classes são disjuntas e cobrem todos os inteiros.
  • Para n=3: os representantes são 0,1,2. As classes são
[0]=\{3k\mid k\in\mathbb{Z}\},
[1]=\{3k+1\mid k\in\mathbb{Z}\},
[2]=\{3k+2\mid k\in\mathbb{Z}\}.
Novamente são disjuntas e a união delas é \mathbb{Z}. Exemplos úteis: 7\in[1] porque 7=3\cdot 2+1; -4\in[2] porque -4=3\cdot(-2)+2.

Resposta

Para n=1: [0]=\mathbb{Z}.
Para n=2: [0]=\{2k\mid k\in\mathbb{Z}\},\\ [1]=\{2k+1\mid k\in\mathbb{Z}\}.
Para n=3: [0]=\{3k\mid k\in\mathbb{Z}\},\\ [1]=\{3k+1\mid k\in\mathbb{Z}\},\\ [2]=\{3k+2\mid k\in\mathbb{Z}\}.

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