2- Sejam R uma relação de equivalência em A e a, b \in A. Demonstre que se b \in \bar{a} então \bar{a}=\bar{b}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dado: R é uma relação de equivalência em A.
  • Dado: a,b\in A.
  • Hipótese adicional: b\in\bar{a}.
  • Pedido: demonstrar que \bar{a}=\bar{b}.
Informações relevantes que o enunciado fornece (escritas de forma explícita para evitar confusão):
  • A hipótese b\in\bar{a} significa que a relação R liga b a a (isto é, bRa).
  • A notação \bar{a} e \bar{b} refere-se às classes de equivalência de a e de b, respectivamente.

Passo 2

Definições e propriedades que vamos precisar (explicadas devagar, como numa aulinha):
  • Uma relação R em A é uma relação de equivalência se satisfaz três propriedades:
    • Reflexiva: para todo x\in A vale xRx.
    • Simétrica: para todo x,y\in A, se xRy então yRx.
    • Transitiva: para todo x,y,z\in A, se xRy e yRz então xRz.
  • A classe de equivalência de um elemento x\in A é definida por
\bar{x}=\{\,y\in A \mid yRx\,\}.
Isto é, \bar{x} contém exatamente os elementos de A que estão relacionados com x pela relação R.

Passo 3

Plano de prova (curto e prático): para mostrar que dois conjuntos \bar{a} e \bar{b} são iguais, a maneira direta e comum é provar as duas inclusões
\bar{a}\subseteq\bar{b} \qquad\text{e}\qquad \bar{b}\subseteq\bar{a}.
Vou provar cada inclusão pegando um elemento arbitrário de um lado e mostrando que ele pertence ao outro lado, usando as propriedades de equivalência quando necessário.

Passo 4

Provar \bar{a}\subseteq\bar{b}.
Seja x um elemento arbitrário em \bar{a}. Por definição da classe, isso significa que
xRa.
Da hipótese b\in\bar{a} temos, por definição, que
bRa.
Como R é simétrica, de bRa segue que
aRb.
Agora usamos a transitividade: tendo xRa e aRb, pela transitividade obtemos
xRb.
Pelo significado da classe \bar{b}, a relação xRb implica que x\in\bar{b}. Como x foi escolhido arbitrariamente em \bar{a}, concluímos
\bar{a}\subseteq\bar{b}.

Passo 5

Provar \bar{b}\subseteq\bar{a}.
Seja y um elemento arbitrário em \bar{b}. Então, por definição,
yRb.
Da hipótese b\in\bar{a} já sabemos que
bRa.
Agora aplicamos a transitividade a yRb e bRa: isto produz
yRa.
Pelo significado da classe \bar{a}, a relação yRa implica y\in\bar{a}. Como y foi arbitrário em \bar{b}, concluímos
\bar{b}\subseteq\bar{a}.

Passo 6

Conclusão combinada.
Das inclusões \bar{a}\subseteq\bar{b} e \bar{b}\subseteq\bar{a} segue, por definição de igualdade de conjuntos, que
\bar{a}=\bar{b}.
Um comentário intuitivo final (para fixar): a hipótese b\in\bar{a} diz que a e b são equivalentes; então naturalmente a classe de equivalência de a é a mesma classe de equivalência de b: dois elementos equivalentes pertencem à mesma classe.

Resposta

\bar{a}=\bar{b}

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