2- Sejam
uma relação de equivalência em
e
. Demonstre que se
então
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Dado:
é uma relação de equivalência em . - Dado:
. - Hipótese adicional:
. - Pedido: demonstrar que
.
Informações relevantes que o enunciado fornece (escritas de forma explícita para evitar confusão):
- A hipótese
significa que a relação liga a (isto é, ). - A notação
e refere-se às classes de equivalência de e de , respectivamente.
Passo 2
Definições e propriedades que vamos precisar (explicadas devagar, como numa aulinha):
- Uma relação
em é uma relação de equivalência se satisfaz três propriedades: - Reflexiva: para todo
vale . - Simétrica: para todo
, se então . - Transitiva: para todo
, se e então .
- Reflexiva: para todo
- A classe de equivalência de um elemento
é definida por
Isto é,
contém exatamente os elementos de
que estão relacionados com
pela relação
.
Passo 3
Plano de prova (curto e prático): para mostrar que dois conjuntos
e
são iguais, a maneira direta e comum é provar as duas inclusões
Vou provar cada inclusão pegando um elemento arbitrário de um lado e mostrando que ele pertence ao outro lado, usando as propriedades de equivalência quando necessário.
Passo 4
Provar
.
Seja
um elemento arbitrário em
. Por definição da classe, isso significa que
Da hipótese
temos, por definição, que
Como
é simétrica, de
segue que
Agora usamos a transitividade: tendo
e
, pela transitividade obtemos
Pelo significado da classe
, a relação
implica que
. Como
foi escolhido arbitrariamente em
, concluímos
Passo 5
Provar
.
Seja
um elemento arbitrário em
. Então, por definição,
Da hipótese
já sabemos que
Agora aplicamos a transitividade a
e
: isto produz
Pelo significado da classe
, a relação
implica
. Como
foi arbitrário em
, concluímos
Passo 6
Conclusão combinada.
Das inclusões
e
segue, por definição de igualdade de conjuntos, que
Um comentário intuitivo final (para fixar): a hipótese
diz que
e
são equivalentes; então naturalmente a classe de equivalência de
é a mesma classe de equivalência de
: dois elementos equivalentes pertencem à mesma classe.