Calcule o valor das expressões.
\left(\frac{2^{4}}{2^{-2}}\right)^{-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da expressão
\left(\frac{2^{4}}{2^{-2}}\right)^{-1}.
Informações dadas:
  • O numerador é \;2^{4}.
  • O denominador é \;2^{-2}.
  • O quociente \dfrac{2^{4}}{2^{-2}} está elevado a -1.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar as regras de potências que vamos usar (com linguagem simples):
  • Regra da divisão de potências de mesma base: se a\neq0,
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n},
ou seja, ao dividir potências de mesma base subtrai-se os expoentes. Aqui a é a base (por exemplo 2) e m,n são expoentes (números inteiros ou reais).
  • Regra da potência de potência:
\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\cdot n},
ou seja, para elevar uma potência a outra, multiplica-se os expoentes.
  • Significado de expoente negativo:
a^{-k}=\frac{1}{a^{k}},
portanto um expoente negativo indica o inverso (recíproco).
Exemplo numérico simples: \dfrac{2^{3}}{2^{1}}=2^{3-1}=2^{2}=4. Isso ajuda a entender intuitivamente.

Passo 3

Primeiro simplificamos o quociente dentro dos parênteses usando a regra da divisão de potências:
\frac{2^{4}}{2^{-2}}=2^{4-(-2)}.
Calcule o expoente: 4-(-2)=4+2=6. Logo
\frac{2^{4}}{2^{-2}}=2^{6}.

Passo 4

Agora aplicamos o expoente externo -1. Podemos usar a regra da potência de potência:
\left(2^{6}\right)^{-1}=2^{6\cdot(-1)}=2^{-6}.
Usando o significado de expoente negativo,
2^{-6}=\frac{1}{2^{6}}.
Calcule 2^{6}: 2^{6}=64. Portanto
2^{-6}=\frac{1}{64}.

Passo 5

Resumo do cálculo em uma linha (apenas para fixar):
\left(\frac{2^{4}}{2^{-2}}\right)^{-1}=\left(2^{4-(-2)}\right)^{-1}=\left(2^{6}\right)^{-1}=2^{-6}=\frac{1}{64}.

Resposta

\dfrac{1}{64}

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