Seja
um inteiro positivo. Prove por indução que:
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todo inteiro positivo
,
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
-
é um inteiro positivo (isto é, ). - A propriedade a ser demonstrada é uma divisibilidade por
da expressão .
Passo 2
Ideia que vamos usar (explicação didática da técnica): a prova por indução matemática funciona em duas etapas principais:
- Base da indução: verificar que a propriedade vale para o primeiro caso (aqui
). - Passo indutivo: assumir que a propriedade vale para
e a partir disso provar que vale para .
Além disso, usaremos propriedades simples de divisibilidade:
- Se
então para qualquer inteiro . - Se
e então .
Também usaremos a regra de potências de: para todo inteiro .
Passo 3
Base da indução (
). Calcular a expressão para
:
Como
divide
, temos
. Portanto a propriedade vale para
.
Passo 4
Hipótese de indução. Suponha que para algum inteiro positivo
valha
Isto significa que existe um inteiro
tal que
Vou usar essa igualdade para provar que a propriedade vale para
.
Passo 5
Passo indutivo — passar de
para
. Começo escrevendo a expressão que quero mostrar ser múltipla de
:
Observe que
. Então
Agora vou relacionar isso com a hipótese de indução. Multiplicando a igualdade da hipótese por
obtenho:
Como
, essa expressão vale
Agora somo
a essa expressão; como
é múltiplo de
, essa soma preserva divisibilidade por
. Fazendo a conta:
Portanto obtive a identidade
Pelo que dissemos nas propriedades de divisibilidade:
- Pela hipótese,
, então . - Claramente
.
Logo a soma do lado direito é múltipla de. Assim
Recordando que
, temos exatamente
ou seja, a propriedade vale para
.
Passo 6
Conclusão pela indução. Já verificamos a base
e mostramos que a validade para
implica a validade para
. Pelo princípio da indução matemática, a propriedade vale para todo inteiro positivo
.