Seja n um inteiro positivo. Prove por indução que:
3 \mid 2^{n}+(-1)^{n+1}

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo inteiro positivo n,
3 \mid 2^{n}+(-1)^{n+1}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • n é um inteiro positivo (isto é, n\in\mathbb{Z}_{>0}).
  • A propriedade a ser demonstrada é uma divisibilidade por 3 da expressão 2^{n}+(-1)^{n+1}.

Passo 2

Ideia que vamos usar (explicação didática da técnica): a prova por indução matemática funciona em duas etapas principais:
  1. Base da indução: verificar que a propriedade vale para o primeiro caso (aqui n=1).
  2. Passo indutivo: assumir que a propriedade vale para n=k e a partir disso provar que vale para n=k+1.
Além disso, usaremos propriedades simples de divisibilidade:
  • Se 3\mid a então 3\mid m a para qualquer inteiro m.
  • Se 3\mid a e 3\mid b então 3\mid (a+b).
    Também usaremos a regra de potências de (-1): (-1)^{k+2}=(-1)^{k} para todo inteiro k.

Passo 3

Base da indução ( n=1). Calcular a expressão para n=1:
2^{1}+(-1)^{1+1}=2+(-1)^{2}=2+1=3.
Como 3 divide 3, temos 3\mid 2^{1}+(-1)^{2}. Portanto a propriedade vale para n=1.

Passo 4

Hipótese de indução. Suponha que para algum inteiro positivo k valha
3\mid 2^{k}+(-1)^{k+1}.
Isto significa que existe um inteiro t tal que
2^{k}+(-1)^{k+1}=3t.
Vou usar essa igualdade para provar que a propriedade vale para n=k+1.

Passo 5

Passo indutivo — passar de k para k+1. Começo escrevendo a expressão que quero mostrar ser múltipla de 3:
2^{k+1}+(-1)^{k+2}.
Observe que (-1)^{k+2}=(-1)^{k}. Então
2^{k+1}+(-1)^{k+2}=2^{k+1}+(-1)^{k}.
Agora vou relacionar isso com a hipótese de indução. Multiplicando a igualdade da hipótese por 2 obtenho:
2\bigl(2^{k}+(-1)^{k+1}\bigr)=2^{k+1}+2(-1)^{k+1}.
Como 2(-1)^{k+1}=-2(-1)^{k}, essa expressão vale
2^{k+1}-2(-1)^{k}.
Agora somo 3(-1)^{k} a essa expressão; como 3(-1)^{k} é múltiplo de 3, essa soma preserva divisibilidade por 3. Fazendo a conta:
\bigl(2^{k+1}-2(-1)^{k}\bigr)+3(-1)^{k}=2^{k+1}+(-1)^{k}.
Portanto obtive a identidade
2^{k+1}+(-1)^{k}=2\bigl(2^{k}+(-1)^{k+1}\bigr)+3(-1)^{k}.
Pelo que dissemos nas propriedades de divisibilidade:
  • Pela hipótese, 3\mid 2^{k}+(-1)^{k+1}, então 3\mid 2\bigl(2^{k}+(-1)^{k+1}\bigr).
  • Claramente 3\mid 3(-1)^{k}.
    Logo a soma do lado direito é múltipla de 3. Assim
3\mid 2^{k+1}+(-1)^{k}.
Recordando que (-1)^{k}=(-1)^{(k+1)+1}, temos exatamente
3\mid 2^{k+1}+(-1)^{(k+1)+1},
ou seja, a propriedade vale para n=k+1.

Passo 6

Conclusão pela indução. Já verificamos a base n=1 e mostramos que a validade para n=k implica a validade para n=k+1. Pelo princípio da indução matemática, a propriedade vale para todo inteiro positivo n.

Resposta

3 \mid 2^{n}+(-1)^{n+1}

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