Sejam os conjuntos
e
. Determine:
Escreva o conjunto das partes (ou conjunto potência) de
que é o conjunto de todos os subconjuntos de
.
Escreva o conjunto das partes (ou conjunto potência) de
Passo 1
O enunciado fornece os conjuntos
,
e
.
A pergunta que precisa ser respondida é: escrever o conjunto das partes (conjunto potência) de , ou seja, o conjunto de todos os subconjuntos de
.
A pergunta que precisa ser respondida é: escrever o conjunto das partes (conjunto potência) de
Passo 2
O que é o conjunto das partes? Para um conjunto qualquer
, o conjunto das partes é denotado por
(ou às vezes por
) e é definido por
onde
significa que todo elemento de
também está em
. Em palavras leves:
é a coleção de todos os subconjuntos possíveis de
, incluindo o conjunto vazio e o próprio
.
Passo 3
Uma propriedade importante e útil: se
tem
elementos, então
tem
elementos. Isso vem da ideia de que para cada elemento de
há duas escolhas ao formar um subconjunto: incluir ou não incluir esse elemento; multiplicando as escolhas dá
.
No nosso caso tem
elementos, logo
No nosso caso
Portanto devemos listar exatamente
subconjuntos.
Passo 4
Estratégia prática para listar todos os subconjuntos sem esquecer nenhum: organizar por cardinalidade (número de elementos) do subconjunto. Assim vamos listar, na ordem:
- subconjuntos com
elementos (cardinalidade ); - subconjuntos com
elemento (cardinalidade ); - subconjuntos com
elementos; - subconjuntos com
elementos; - subconjuntos com
elementos.
Essa ordem é sistemática e evita repetições.
Passo 5
Cardinalidade
: há exatamente um subconjunto vazio:
Passo 6
Cardinalidade
(singletons): são todos os subconjuntos formados por um único elemento de
. Como
, os singletons são:
Há
desses, que conferem com a contagem.
Passo 7
Cardinalidade
(pares): são todos os subconjuntos com dois elementos distintos de
. O número deles é
. Enumerando de forma ordenada:
Passo 8
Cardinalidade
(triplos): são todos os subconjuntos com três elementos de
. O número é
. Enumerando:
Passo 9
Cardinalidade
: só existe o subconjunto que é o próprio
:
Passo 10
Contagem final rápida para checar:
(vazio)
(singletons)
(pares)
(triplos)
(o próprio
)
subconjuntos, que bate com
. Agora, com todos os subconjuntos listados, a forma padrão de escrever o conjunto das partes é agrupar todos eles entre chaves — a resposta final está abaixo.