Sejam os conjuntos A=\{1,2,3,4\}, B=\{3,4,5,6\} e C=\{4,5,6,7\}. Determine:
Escreva o conjunto das partes (ou conjunto potência) de A que é o conjunto de todos os subconjuntos de A.

Passo 1

O enunciado fornece os conjuntos
A=\{1,2,3,4\}, B=\{3,4,5,6\} e C=\{4,5,6,7\}.
A pergunta que precisa ser respondida é: escrever o conjunto das partes (conjunto potência) de A, ou seja, o conjunto de todos os subconjuntos de A.

Passo 2

O que é o conjunto das partes? Para um conjunto qualquer X, o conjunto das partes é denotado por \mathcal{P}(X) (ou às vezes por 2^{X}) e é definido por
\mathcal{P}(X)=\{Y \mid Y\subseteq X\},
onde Y\subseteq X significa que todo elemento de Y também está em X. Em palavras leves: \mathcal{P}(X) é a coleção de todos os subconjuntos possíveis de X, incluindo o conjunto vazio e o próprio X.

Passo 3

Uma propriedade importante e útil: se X tem n elementos, então \mathcal{P}(X) tem 2^{n} elementos. Isso vem da ideia de que para cada elemento de X há duas escolhas ao formar um subconjunto: incluir ou não incluir esse elemento; multiplicando as escolhas dá 2^{n}.
No nosso caso A tem 4 elementos, logo
|\mathcal{P}(A)|=2^{4}=16.
Portanto devemos listar exatamente 16 subconjuntos.

Passo 4

Estratégia prática para listar todos os subconjuntos sem esquecer nenhum: organizar por cardinalidade (número de elementos) do subconjunto. Assim vamos listar, na ordem:
  • subconjuntos com 0 elementos (cardinalidade 0);
  • subconjuntos com 1 elemento (cardinalidade 1);
  • subconjuntos com 2 elementos;
  • subconjuntos com 3 elementos;
  • subconjuntos com 4 elementos.
Essa ordem é sistemática e evita repetições.

Passo 5

Cardinalidade 0: há exatamente um subconjunto vazio:
\varnothing.

Passo 6

Cardinalidade 1 (singletons): são todos os subconjuntos formados por um único elemento de A. Como A=\{1,2,3,4\}, os singletons são:
\{1\},\qquad \{2\},\qquad \{3\},\qquad \{4\}.
\binom{4}{1}=4 desses, que conferem com a contagem.

Passo 7

Cardinalidade 2 (pares): são todos os subconjuntos com dois elementos distintos de A. O número deles é \binom{4}{2}=6. Enumerando de forma ordenada:
\{1,2\},\qquad \{1,3\},\qquad \{1,4\},\qquad \{2,3\},\qquad \{2,4\},\qquad \{3,4\}.

Passo 8

Cardinalidade 3 (triplos): são todos os subconjuntos com três elementos de A. O número é \binom{4}{3}=4. Enumerando:
\{1,2,3\},\qquad \{1,2,4\},\qquad \{1,3,4\},\qquad \{2,3,4\}.

Passo 9

Cardinalidade 4: só existe o subconjunto que é o próprio A:
\{1,2,3,4\}.

Passo 10

Contagem final rápida para checar: 1 (vazio) + 4 (singletons) + 6 (pares) + 4 (triplos) + 1 (o próprio A) =16 subconjuntos, que bate com 2^{4}=16. Agora, com todos os subconjuntos listados, a forma padrão de escrever o conjunto das partes é agrupar todos eles entre chaves — a resposta final está abaixo.

Resposta

\mathcal{P}(A)=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\},\{1,2,3\},\{1,2,4\},\{1,3,4\},\{2,3,4\},\{1,2,3,4\}\}

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