Prove que, se
e
são dois conjuntos com
, entāo o complement ar do complementar de
em relação a
, em relação a
é o próprio conjunto
.
Passo 1
O enunciado dá dois conjuntos
e
com a informação
O que se pede: provar que o complemento do complementar de
em relação a
(ou seja, o complementar relativo de
em relação a
) é exatamente
. Em notação, provar que
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição do complemento relativo (ou diferença de conjuntos): para conjuntos
e
definimos
Ou seja,
são os elementos de
que não pertencem a
. Aplicando essa definição ao caso do enunciado, temos
e
Passo 3
Vamos provar a igualdade por dupla inclusão. Primeiro mostro que
Tomemos um elemento arbitrário
. Como
, segue que
. Além disso, não é possível que
, porque
significaria
e
, contradizendo
. Portanto
. Como
e
, pela definição
. Como
foi arbitrário em
, obtemos a inclusão desejada.
Passo 4
Agora mostro a inclusão inversa:
Tomemos
. Pela definição, isso significa que
e
. Mas a afirmação
é a negação da propriedade e
‘’ ser falsa é que
seja falso; isto é, deve ocorrer
. Portanto
. Como
foi arbitrário em
, concluímos a inclusão.
\(x\in B\) e \(x\notin A\)''. Como já sabemos que \(x\in B\), a única forma da conjunção
Passo 5
Tendo mostrado as duas inclusões
concluímos que os dois conjuntos são iguais:
Passo 6
Um exemplo numérico rápido para fixar a intuição: seja
e
(aqui
). Então
e
confirmando o que provamos.