Prove que, se A e B são dois conjuntos com A \subset B, entāo o complement ar do complementar de A em relação a B, em relação a B é o próprio conjunto A.

Passo 1

O enunciado dá dois conjuntos A e B com a informação
A \subset B.
O que se pede: provar que o complemento do complementar de A em relação a B (ou seja, o complementar relativo de B\setminus A em relação a B) é exatamente A. Em notação, provar que
B\setminus\bigl(B\setminus A\bigr)=A.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição do complemento relativo (ou diferença de conjuntos): para conjuntos X e Y definimos
Y\setminus X=\{\,x\in Y \mid x\notin X\,\}.
Ou seja, Y\setminus X são os elementos de Y que não pertencem a X. Aplicando essa definição ao caso do enunciado, temos
B\setminus A=\{\,x\in B \mid x\notin A\,\},
e
B\setminus\bigl(B\setminus A\bigr)=\{\,x\in B \mid x\notin (B\setminus A)\,\}.

Passo 3

Vamos provar a igualdade por dupla inclusão. Primeiro mostro que
A \subset B\setminus\bigl(B\setminus A\bigr).
Tomemos um elemento arbitrário x\in A. Como A\subset B, segue que x\in B. Além disso, não é possível que x\in B\setminus A, porque x\in B\setminus A significaria x\in B e x\notin A, contradizendo x\in A. Portanto x\notin B\setminus A. Como x\in B e x\notin B\setminus A, pela definição x\in B\setminus(B\setminus A). Como x foi arbitrário em A, obtemos a inclusão desejada.

Passo 4

Agora mostro a inclusão inversa:
B\setminus\bigl(B\setminus A\bigr) \subset A.
Tomemos x\in B\setminus(B\setminus A). Pela definição, isso significa que x\in B e x\notin B\setminus A. Mas a afirmação x\notin B\setminus A é a negação da propriedade \(x\in B\) e \(x\notin A\)''. Como já sabemos que \(x\in B\), a única forma da conjunção x\in B e x\notin A‘’ ser falsa é que x\notin A seja falso; isto é, deve ocorrer x\in A. Portanto x\in A. Como x foi arbitrário em B\setminus(B\setminus A), concluímos a inclusão.

Passo 5

Tendo mostrado as duas inclusões
A \subset B\setminus\bigl(B\setminus A\bigr) \qquad\text{e}\qquad B\setminus\bigl(B\setminus A\bigr)\subset A,
concluímos que os dois conjuntos são iguais:
B\setminus\bigl(B\setminus A\bigr)=A.

Passo 6

Um exemplo numérico rápido para fixar a intuição: seja B=\{1,2,3\} e A=\{1,2\} (aqui A\subset B). Então B\setminus A=\{3\} e
B\setminus(B\setminus A)=B\setminus\{3\}=\{1,2\}=A,
confirmando o que provamos.

Resposta

B\setminus\bigl(B\setminus A\bigr)=A

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