Seja
. Discuta como as observações
e
podem ser usadas para encontrar as soluções gerais das equações diferenciais dadas.
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
e sugere usar as observações
Aqui temos
, então vamos explorar como essas fórmulas nos ajudam a caracterizar o espaço das soluções.
Passo 2
Para
as observações viram
Isto significa que todo polinômio de grau
tem derivada terceira nula, enquanto monômios de grau
geram termos não nulos.
Passo 3
Suponha uma solução polinomial genérica
Então
Para que
em todos os
, precisamos que cada coeficiente desse polinômio seja zero.
Passo 4
O coeficiente associado a
é
. Como
para
, deduzimos
Logo sobra apenas
e de fato
para qualquer escolha de
.
Resposta
A solução geral de
é
onde
são constantes arbitrárias.