Seja n=1,2,3 ldots. Discuta como as observações D^n x^n-1=0 e D^n x^n=n! podem ser usadas para encontrar as soluções gerais das equações diferenciais dadas.
b) y^prime prime prime=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y^primeprimeprime=0
e sugere usar as observações
D^n x^,n-1=0 e D^n x^,n=n!
Aqui temos n=3, então vamos explorar como essas fórmulas nos ajudam a caracterizar o espaço das soluções.

Passo 2

Para n=3 as observações viram
D^3 x^2 =0 e D^3 x^3 =3! =6
Isto significa que todo polinômio de grau <=2 tem derivada terceira nula, enquanto monômios de grau >=3 geram termos não nulos.

Passo 3

Suponha uma solução polinomial genérica
y(x)=sumk=0^N ak,x^k
Então
D^3 y(x) =sumk=0^N ak,D^3(x^k) =sumk=3^N ak,k(k-1)(k-2),x^,k-3
Para que D^3 y(x)equiv0 em todos os x, precisamos que cada coeficiente desse polinômio seja zero.

Passo 4

O coeficiente associado a x^,k-3 é ak,k(k-1)(k-2). Como k(k-1)(k-2)neq0 para k>=3, deduzimos
ak=0 para todo k>=3
Logo sobra apenas
y(x)=a2,x^2 + a1,x + a0,
e de fato D^3 y=0 para qualquer escolha de a0,a1,a2.

Resposta

A solução geral de y'''=0 é
boxedy(x)=C2,x^2 + C1,x + C0,
onde C0,C1,C2 são constantes arbitrárias.

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