Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^pi / 4 cos 2 x raiz4-sin 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = integral0^pi/4 cos2x ,raiz4-sin2x,dx
O conteúdo principal aqui é usar uma substituição para lidar com a composição interna sin2x.

Passo 2

Façamos a substituição
u = sin2x,
então
du = 2cos2x,dx Longrightarrow cos2x,dx = du2
Quando x varia de 0 até pi/4, o novo limite u vai de
u(0)=sin0=0 até u(pi/4)=sinl(tfracpi2r)=1 é

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
I = integral0^1 raiz4-u;du2 = 12 integral0^1 (4-u)^1/2,du
Agora calculamos
integral (4-u)^1/2,du = -23(4-u)^3/2 + C,
pois derivando -tfrac23(4-u)^3/2 recuperamos (4-u)^1/2.

Passo 4

Aplicando os limites de 0 a 1 em tfrac12l[-tfrac23(4-u)^3/2r], temos
I = 12[-23(4-u)^3/2]0^1 = -13l[(4-1)^3/2 - (4-0)^3/2r]
Como (4-1)^3/2=3^3/2=3raiz3 e (4-0)^3/2=4^3/2=8,
I = -13l(3raiz3-8r) = 8-3raiz33

Resposta

8 - 3raiz33

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