Seja n=1,2,3 ldots. Discuta como as observações D^n x^n-1=0 e D^n x^n=n! podem ser usadas para encontrar as soluções gerais das equações diferenciais dadas.
c) y^(4)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO homogênea
y^(4)=0
usando as observações
D^n x^n-1=0 e D^n x^n = n!
Aqui D é a derivada em relação a x e, sendo a ordem da EDO igual a 4, vamos usar n=4.

Passo 2

Buscamos soluções do tipo monômio, y=x^k. Pela observação D^4 x^4-1=D^4 x^3=0, deduzimos que
D^4 x^k=0 sempre que k<=3
Logo os quatro monômios
1, x, x^2, x^3
são soluções independentes de y^(4)=0.

Passo 3

Como a EDO é de 4ª ordem, sua solução geral é a combinação linear desses quatro monômios, isto é,
y = C0 + C1 x + C2 x^2 + C3 x^3,
onde C0,C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

Resposta

y = C0 + C1 x + C2 x^2 + C3 x^3

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