Seja n=1,2,3 ldots. Discuta como as observações D^n x^n-1=0 e D^n x^n=n! podem ser usadas para encontrar as soluções gerais das equações diferenciais dadas.
f) y^(4)=24

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y^(4) = 24,
isto é, uma equação linear de ordem 4 com coeficientes constantes e termo não homogêneo constante. Vamos usar as observações
D^n x^n-1=0 e D^n x^n=n!
para construir a solução geral, sabendo que polinômios de grau até n-1 resolvem a parte homogênea e que x^n fornece um particular quando n!= constante não nula.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução homogênea de
y^(4)=0
A equação característica é r^4=0, raiz r=0 de multiplicidade 4. Isso gera, como base de soluções, as funções
1,;x,;x^2,;x^3,
pois D^4 x^k=0 sempre que k<=3. Logo a solução homogênea é
yh = C1 + C2,x + C3,x^2 + C4,x^3

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular de grau 4. Pela observação D^4 x^4 = 4! = 24, basta tentar
yp = A,x^4
Aplicando quatro derivadas,
yp^(4) = A,D^4 x^4 = Acdot 4! = 24A
Igualando ao lado direito da equação original, 24A = 24, obtemos A=1. Assim
yp = x^4

Passo 4

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y = yh + yp = C1 + C2,x + C3,x^2 + C4,x^3 + x^4

Resposta

y = C1 + C2,x + C3,x^2 + C4,x^3 + x^4

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