Seja
. Discuta como as observações
e
podem ser usadas para encontrar as soluções gerais das equações diferenciais dadas.
f)
f)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
isto é, uma equação linear de ordem 4 com coeficientes constantes e termo não homogêneo constante. Vamos usar as observações
para construir a solução geral, sabendo que polinômios de grau até
resolvem a parte homogênea e que
fornece um particular quando
constante não nula.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução homogênea de
A equação característica é
, raiz
de multiplicidade 4. Isso gera, como base de soluções, as funções
pois
sempre que
. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular de grau 4. Pela observação
, basta tentar
Aplicando quatro derivadas,
Igualando ao lado direito da equação original,
, obtemos
. Assim
Passo 4
A solução geral é a soma da homogênea com a particular: