Prove as seguintes propriedades, com a, b, c, d in Z
a mid 0, forall a in Z backslash0

Passo 1

O enunciado nos pede para provar que todo inteiro não-nulo a divide zero, isto é, mostrar que
amid 0 para todo ain Zsetminus0
O conteúdo aqui é a definição de divisibilidade em Z.

Passo 2

Lembramos a definição de divisibilidade entre inteiros: dados x,yin Z, dizemos que
xmid y
se, e somente se, existe um inteiro k tal que
y = xcdot k

Passo 3

Para aplicar essa definição ao caso y=0 e x=a, basta encontrar um inteiro k que satisfaça
0 = acdot k
Mas sabemos que, para qualquer a,
acdot 0 = 0,
e 0in Z.

Passo 4

Como existe k=0in Z tal que 0 = acdot k, concluímos que amid 0 para todo aneq0.

Resposta

forall,ain Zsetminus0,;amid 0

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