Seja n>0 um número natural. Mostre que um, e somente um, número de cada terno abaixo é divisível por 3
n, n+10, n+23

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dado n>0 inteiro, exatamente um dos números
n,\quad n+10,\quad n+23
é múltiplo de 3. Vamos usar aritmética modular módulo 3, isto é, estudar as classes de n em \mathbb{Z}_3.

Passo 2

Como 10\equiv1\pmod{3} e 23\equiv2\pmod{3}, temos as congruências
n+10\equiv n+1\pmod{3}, \qquad n+23\equiv n+2\pmod{3}.

Passo 3

Analisamos os três possíveis resíduos de n módulo 3:
  1. Se n\equiv0\pmod{3}, então
n\equiv0,\quad n+10\equiv1,\quad n+23\equiv2\pmod{3},
logo apenas n é múltiplo de 3.
  1. Se n\equiv1\pmod{3}, então
n\equiv1,\quad n+10\equiv2,\quad n+23\equiv0\pmod{3},
logo apenas n+23 é múltiplo de 3.
  1. Se n\equiv2\pmod{3}, então
n\equiv2,\quad n+10\equiv0,\quad n+23\equiv1\pmod{3},
logo apenas n+10 é múltiplo de 3.
Em cada caso aparece exatamente um termo congruente a 0\pmod{3}, os outros são 1 ou 2.

Resposta

Assim, para todo inteiro n>0, um e somente um entre n, n+10 e n+23 é divisível por 3.

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