Seja
um polinômio de grau
. Recordando que se
é uma raíz de
, então
, onde
é o quociente da divisão de
por
. Particularmente, temos
onde
e
são raízes da equação do segundo grau
. Nestas condições, faça o que se pede:
(a) fatore os polinômios abaixo.
(a) fatore os polinômios abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para fatorar o polinômio
. O conteúdo envolvido é o teorema do resto e do fator, que diz que se
então
é divisor de
. Para resolver, vamos também usar o teste de possíveis raízes racionais (teorema de Gauss).
Passo 2
Buscamos as possíveis raízes inteiras dividindo os divisores de
(termo constante) pelos divisores de
(coeficiente de
), ou seja,
. Testamos
:
Substituindo em
obtemos
, logo
é raiz.
Substituindo
Passo 3
Aplicamos a divisão sintética de
por
para obter o quociente de grau 3. Usando os coeficientes
, obtemos
Passo 4
Repetimos o teste de raízes nesse novo polinômio: testando
em
encontramos
, logo
é raiz novamente.
Passo 5
Dividimos sinteticamente
por
usando os coeficientes
e obtemos o quociente de grau 2
Passo 6
O polinômio quadrático
pode ser fatorado procurando dois números cujo produto seja
e soma seja
. Esses números são
e
, logo
Passo 7
Com isso, encontramos todos os fatores lineares de
.