Seja P(x)=an x^n+an-1 x^n-1+an-2 x^n-2+ldots+a2 x^2+a1 x+a0 um polinômio de grau n. Recordando que se alpha é uma raíz de P(x), então P(x)=(x-alpha) Q(x), onde Q(x) é o quociente da divisão de P(x) por (x-alpha). Particularmente, temos
a x^2+b x+c=a(x-x1)(x-x2),
onde x1 e x2 são raízes da equação do segundo grau a x^2+b x+c=0. Nestas condições, faça o que se pede:
(a) fatore os polinômios abaixo.
x^4-3 x^3+x^2+3 x-2

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio x^4 - 3x^3 + x^2 + 3x - 2. O conteúdo envolvido é o teorema do resto e do fator, que diz que se P(alpha)=0 então x-alpha é divisor de P(x). Para resolver, vamos também usar o teste de possíveis raízes racionais (teorema de Gauss).

Passo 2

Buscamos as possíveis raízes inteiras dividindo os divisores de -2 (termo constante) pelos divisores de 1 (coeficiente de x^4), ou seja, pm1,pm2. Testamos x=1:
Substituindo x=1 em x^4 - 3x^3 + x^2 + 3x - 2 obtemos 1 - 3 + 1 + 3 - 2 = 0, logo x=1 é raiz.

Passo 3

Aplicamos a divisão sintética de P(x) por x-1 para obter o quociente de grau 3. Usando os coeficientes 1, -3, 1, 3, -2, obtemos
x^3 - 2x^2 - x + 2

Passo 4

Repetimos o teste de raízes nesse novo polinômio: testando x=1 em x^3 - 2x^2 - x + 2 encontramos 1 - 2 - 1 + 2 = 0, logo x=1 é raiz novamente.

Passo 5

Dividimos sinteticamente x^3 - 2x^2 - x + 2 por x-1 usando os coeficientes 1, -2, -1, 2 e obtemos o quociente de grau 2
x^2 - x - 2

Passo 6

O polinômio quadrático x^2 - x - 2 pode ser fatorado procurando dois números cujo produto seja -2 e soma seja -1. Esses números são -2 e 1, logo
x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)

Passo 7

Com isso, encontramos todos os fatores lineares de P(x).

Resposta

(x-1)^2(x-2)(x+1)

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