Seja P(x)=an x^n+an-1 x^n-1+an-2 x^n-2+ldots+a2 x^2+a1 x+a0 um polinômio de grau n. Recordando que se alpha é uma raíz de P(x), então P(x)=(x-alpha) Q(x), onde Q(x) é o quociente da divisão de P(x) por (x-alpha). Particularmente, temos
a x^2+b x+c=a(x-x1)(x-x2),
onde x1 e x2 são raízes da equação do segundo grau a x^2+b x+c=0. Nestas condições, faça o que se pede:
(a) fatore os polinômios abaixo.
x^3+6 x^2+11 x+6

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio de grau 3 usando o Teorema do Resto: se α é raiz de P(x), então x-α é fator de P(x). Aqui queremos fatorar x^3+6x^2+11x+6.

Passo 2

Usamos o teste de raízes racionais: os candidatos são divisores de 6, ou seja, ±1,±2,±3,±6. Avaliando em x=-1 temos
(-1)^3+6(-1)^2+11(-1)+6=-1+6-11+6=0,
logo x=-1 é raiz e então x+1 é fator.

Passo 3

Fazemos a divisão sintética de x^3+6x^2+11x+6 por x+1: coeficientes 1, 6, 11, 6
1 | 1 6 11 6
| -1 -5 -6

 1   5    6   0
O quociente é x^2+5x+6.

Passo 4

Agora fatoramos o quadrático x^2+5x+6. Buscamos raízes de x^2+5x+6=0, que são x=-2 e x=-3. Então
x^2+5x+6=(x+2)(x+3)

Resposta

(x+1)(x+2)(x+3)

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