Seja P(x)=an x^n+an-1 x^n-1+an-2 x^n-2+ldots+a2 x^2+a1 x+a0 um polinômio de grau n. Recordando que se alpha é uma raíz de P(x), então P(x)=(x-alpha) Q(x), onde Q(x) é o quociente da divisão de P(x) por (x-alpha). Particularmente, temos
a x^2+b x+c=a(x-x1)(x-x2),
onde x1 e x2 são raízes da equação do segundo grau a x^2+b x+c=0. Nestas condições, faça o que se pede:
(b) resolva as inequações.
x^3+6 x^2+11 x+6<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação x^3 + 6x^2 + 11x + 6 < 0. O conteúdo principal aqui é fatoração de polinômio e estudo de sinal.

Passo 2

Vamos usar o Teorema do Resto: testamos raízes racionais candidatas (divisores de 6), descobrimos que x=-1 é raiz pois (-1)^3+6(-1)^2+11(-1)+6=0. Logo podemos dividir o polinômio por (x+1).
Fazendo a divisão (ou por fatoração direta), obtemos
x^3+6x^2+11x+6=(x+1)(x^2+5x+6)
E o trinômio quadrático x^2+5x+6 também se fatoriza:
x^2+5x+6=(x+2)(x+3)
Portanto
x^3+6x^2+11x+6=(x+1)(x+2)(x+3)

Passo 3

As raízes são -3,-2,-1. Para estudar o sinal do produto de três fatores lineares, analisamos os intervalos determinados por essas raízes:
  • Em x<-3: todos os fatores (x+1),(x+2),(x+3) são negativos, então o produto é negativo.
  • Em -3: apenas x+3>0; dois fatores são negativos → produto positivo.
  • Em -2: x+3>0 e x+2>0, x+1<0 → produto negativo.
  • Em x>-1: todos os fatores são positivos → produto positivo.

Passo 4

A inequação pede onde o polinômio é menor que zero, ou seja, nos intervalos em que o produto for negativo.
Portanto a solução da inequação é
.

Resposta

(-\nabla,-3)\cup(-2,-1)

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