Seja
um polinômio de grau
. Recordando que se
é uma raíz de
, então
, onde
é o quociente da divisão de
por
. Particularmente, temos
onde
e
são raízes da equação do segundo grau
. Nestas condições, faça o que se pede:
(b) resolva as inequações.
(b) resolva as inequações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
. O conteúdo principal aqui é fatoração de polinômio e estudo de sinal.
Passo 2
Vamos usar o Teorema do Resto: testamos raízes racionais candidatas (divisores de 6), descobrimos que
é raiz pois
. Logo podemos dividir o polinômio por
.
Fazendo a divisão (ou por fatoração direta), obtemos
Fazendo a divisão (ou por fatoração direta), obtemos
E o trinômio quadrático
também se fatoriza:
Portanto
Passo 3
As raízes são
. Para estudar o sinal do produto de três fatores lineares, analisamos os intervalos determinados por essas raízes:
- Em
: todos os fatores são negativos, então o produto é negativo. - Em
: apenas ; dois fatores são negativos → produto positivo. - Em
: e , → produto negativo. - Em
: todos os fatores são positivos → produto positivo.
Passo 4
A inequação pede onde o polinômio é menor que zero, ou seja, nos intervalos em que o produto for negativo.
Portanto a solução da inequação é
.
Portanto a solução da inequação é
Resposta
(-\nabla,-3)\cup(-2,-1)