Seja P(x)=an x^n+an-1 x^n-1+an-2 x^n-2+ldots+a2 x^2+a1 x+a0 um polinômio de grau n. Recordando que se alpha é uma raíz de P(x), então P(x)=(x-alpha) Q(x), onde Q(x) é o quociente da divisão de P(x) por (x-alpha). Particularmente, temos
a x^2+b x+c=a(x-x1)(x-x2),
onde x1 e x2 são raízes da equação do segundo grau a x^2+b x+c=0. Nestas condições, faça o que se pede:
(b) resolva as inequações.
x^3+3 x^2-4 x-12 >= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação x^3+3x^2-4x-12>=0. O conteúdo chave aqui é fatorar o polinômio usando o teorema do resto ou das raízes racionais e, em seguida, montar um estudo de sinais dos fatores obtidos.

Passo 2

Para encontrar uma raiz inteira, testamos candidatos (divisores de 12): pm1,pm2,pm3,pm4,pm6,pm12. Verificamos que P(2)=2^3+3cdot2^2-4cdot2-12=0, logo x=2 é raiz. Dividindo x^3+3x^2-4x-12 por (x-2) (divisão sintética ou longa) obtemos o quociente x^2+5x+6.

Passo 3

O quociente x^2+5x+6 se fatora em dois binômios:
x^2+5x+6=(x+2)(x+3)

Passo 4

Portanto a fatoração completa é:
x^3+3x^2-4x-12=(x-2)(x+2)(x+3)

Passo 5

Agora fazemos o estudo de sinais dos três fatores. Os zeros são x=-3,-2,2. Em cada intervalo testamos o sinal de cada fator ou usamos regras de paridade de sinais:
  • Para x<-3: todos os fatores são negativos (produto negativo).
  • Em -3: dois fatores negativos e um positivo (produto positivo).
  • Em -2: um fator negativo e dois positivos (produto negativo).
  • Em x>2: todos positivos (produto positivo).

Passo 6

Como queremos P(x)>=0, incluímos também os pontos em que cada fator anula o polinômio. Portanto a solução é
[

Resposta

[-3,-2]\u222A[2,\infty)

Exercícios relacionados