Seja
um polinômio de grau
. Recordando que se
é uma raíz de
, então
, onde
é o quociente da divisão de
por
. Particularmente, temos
onde
e
são raízes da equação do segundo grau
. Nestas condições, faça o que se pede:
(b) resolva as inequações.
(b) resolva as inequações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
. O conteúdo chave aqui é fatorar o polinômio usando o teorema do resto ou das raízes racionais e, em seguida, montar um estudo de sinais dos fatores obtidos.
Passo 2
Para encontrar uma raiz inteira, testamos candidatos (divisores de 12):
. Verificamos que
, logo
é raiz. Dividindo
por
(divisão sintética ou longa) obtemos o quociente
.
Passo 3
O quociente
se fatora em dois binômios:
Passo 4
Portanto a fatoração completa é:
Passo 5
Agora fazemos o estudo de sinais dos três fatores. Os zeros são
. Em cada intervalo testamos o sinal de cada fator ou usamos regras de paridade de sinais:
- Para
: todos os fatores são negativos (produto negativo). - Em
: dois fatores negativos e um positivo (produto positivo). - Em
: um fator negativo e dois positivos (produto negativo). - Em
: todos positivos (produto positivo).
Passo 6
Como queremos
, incluímos também os pontos em que cada fator anula o polinômio. Portanto a solução é
[
[
Resposta
[-3,-2]\u222A[2,\infty)