O enunciado pede para calcular a primitiva (integração indefinida)
\int \frac{x}{x^{4}-1}\,dx
Foi dada também a informação a\neq 0, que aparece no enunciado, mas não influencia diretamente esta integral (não há a na expressão integranda). As informações relevantes para resolver a integral são portanto: o integrando racional \dfrac{x}{x^{4}-1} e que queremos uma primitiva (uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x}{x^{4}-1}).
Passo 2
Vamos factorizar o denominador para preparar uma decomposição em frações parciais. Note que
onde A,B,C,D são constantes a determinar. Explicação do porquê dessa forma: para cada fator linear simples usamos uma constante no numerador; para cada fator quadrático irreduzível usamos um polinômio de grau menor que o do quadrático (aqui grau 1: Cx+D).
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por x^{4}-1=(x-1)(x+1)(x^{2}+1) para eliminar denominadores:
x = A(x+1)(x^{2}+1)+B(x-1)(x^{2}+1)+(Cx+D)(x-1)(x+1).
Uma maneira eficiente de achar A e B é escolher valores de x que anulem fatores: tomar x=1 e x=-1.
Para achar C\) e \(D\) podemos comparar coeficientes dos polinômios (expandindo o lado direito) ou usar outros valores de \(x\). Vou comparar coeficientes: expandindo os termos (ou agrupando em potências de \(x\)) obtemos a identidade polinomial
\[x=(A+B+C)x^{3}+(A-B+D)x^{2}+(A+B-C)x+(A-B-D).
Igualando coeficientes com o polinômio do lado esquerdo (que é 0x^{3}+0x^{2}+1x+0) temos o sistema:
Usando A=B=\dfrac{1}{4}\] simplifica-se. Da primeira equação
\[C=-(A+B)= -\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{2}.\]
Das equações com \(D, como A-B=0, segue D=0. Verificação rápida com a equação do coeficiente de x: A+B-C=\tfrac{1}{2}-(-\tfrac{1}{2})=1, consistente.]
Passo 7
Substituindo as constantes encontradas na decomposição:
Para \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx fazemos u=x^{2}+1\Rightarrow du=2x\,dx, então \displaystyle \int\frac{x}{x^{2}+1}\,dx=\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)+C.