Seja a \neq 0. Calcule
\int \frac{x}{x^{4}-1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (integração indefinida)
\int \frac{x}{x^{4}-1}\,dx
Foi dada também a informação a\neq 0, que aparece no enunciado, mas não influencia diretamente esta integral (não há a na expressão integranda). As informações relevantes para resolver a integral são portanto: o integrando racional \dfrac{x}{x^{4}-1} e que queremos uma primitiva (uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x}{x^{4}-1}).

Passo 2

Vamos factorizar o denominador para preparar uma decomposição em frações parciais. Note que
x^{4}-1=(x^{2})^{2}-1^{2}=(x^{2}-1)(x^{2}+1)=(x-1)(x+1)(x^{2}+1).
Essa fatoração em fatores lineares e irreducíveis sobre \mathbb{R} é o primeiro passo clássico para decompor racionais.

Passo 3

Como o denominador tem fatores (x-1), (x+1) e (x^{2}+1), a forma geral da decomposição em frações parciais é
\frac{x}{x^{4}-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D}{x^{2}+1},
onde A,B,C,D são constantes a determinar. Explicação do porquê dessa forma: para cada fator linear simples usamos uma constante no numerador; para cada fator quadrático irreduzível usamos um polinômio de grau menor que o do quadrático (aqui grau 1: Cx+D).

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x^{4}-1=(x-1)(x+1)(x^{2}+1) para eliminar denominadores:
x = A(x+1)(x^{2}+1)+B(x-1)(x^{2}+1)+(Cx+D)(x-1)(x+1).
Uma maneira eficiente de achar A e B é escolher valores de x que anulem fatores: tomar x=1 e x=-1.

Passo 5

Substituindo x=1 na igualdade acima:
1 = A(1+1)(1^{2}+1)=A\cdot 2\cdot 2=4A \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{4}.
Substituindo x=-1:
-1 = B(-1-1)((-1)^{2}+1)=B\cdot(-2)\cdot 2=-4B \quad\Rightarrow\quad B=\frac{1}{4}.

Passo 6

Para achar C\) e \(D\) podemos comparar coeficientes dos polinômios (expandindo o lado direito) ou usar outros valores de \(x\). Vou comparar coeficientes: expandindo os termos (ou agrupando em potências de \(x\)) obtemos a identidade polinomial \[x=(A+B+C)x^{3}+(A-B+D)x^{2}+(A+B-C)x+(A-B-D).
Igualando coeficientes com o polinômio do lado esquerdo (que é 0x^{3}+0x^{2}+1x+0) temos o sistema:
\begin{cases} A+B+C=0,\\[4pt] A-B+D=0,\\[4pt] A+B-C=1,\\[4pt] A-B-D=0. \end{cases}
Usando A=B=\dfrac{1}{4}\] simplifica-se. Da primeira equação \[C=-(A+B)= -\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{2}.\] Das equações com \(D, como A-B=0, segue D=0. Verificação rápida com a equação do coeficiente de x: A+B-C=\tfrac{1}{2}-(-\tfrac{1}{2})=1, consistente.]

Passo 7

Substituindo as constantes encontradas na decomposição:
\frac{x}{x^{4}-1}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x-1}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{x^{2}+1}.
Agora integramos termo a termo.

Passo 8

Lembrando integrais básicas:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln\!\left|\,x-a\,\right|+C.
  • Para \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx fazemos u=x^{2}+1\Rightarrow du=2x\,dx, então \displaystyle \int\frac{x}{x^{2}+1}\,dx=\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)+C.
Aplicando estas fórmulas:
\begin{aligned} \int \frac{x}{x^{4}-1}\,dx &= \frac{1}{4}\int\frac{1}{x-1}\,dx + \frac{1}{4}\int\frac{1}{x+1}\,dx -\frac{1}{2}\int\frac{x}{x^{2}+1}\,dx\\[6pt] &= \frac{1}{4}\ln\!\left|x-1\right| + \frac{1}{4}\ln\!\left|x+1\right| -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)+C. \end{aligned}]

Passo 9

Simplificando os coeficientes:
\int \frac{x}{x^{4}-1}\,dx=\frac{1}{4}\ln\!\left|x-1\right|+\frac{1}{4}\ln\!\left|x+1\right|-\frac{1}{4}\ln(x^{2}+1)+C.
Podemos juntar os logaritmos:
\frac{1}{4}\ln\!\left(\frac{\left|x-1\right|\left|x+1\right|}{x^{2}+1}\right) =\frac{1}{4}\ln\!\left(\frac{\left|x^{2}-1\right|}{x^{2}+1}\right).
Ambas as formas são equivalentes.

Resposta

\int \frac{x}{x^{4}-1}\,dx=\frac{1}{4}\ln\!\left|x-1\right|+\frac{1}{4}\ln\!\left|x+1\right|-\frac{1}{4}\ln\!\left(x^{2}+1\right)+C
\text{(ou)}\quad \int \frac{x}{x^{4}-1}\,dx=\frac{1}{4}\ln\!\left(\frac{\left|x^{2}-1\right|}{x^{2}+1}\right)+C

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