Seja a \neq 0. Calcule
\int \frac{x+1}{x^{3}+2 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado diz: seja a \neq 0 (informação presente no enunciado, embora não apareça na expressão integranda) e pede para calcular
\int \frac{x+1}{x^{3}+2 x^{2}}\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{x+1}{x^{3}+2x^{2}}.
  • O denominador é um polinômio de grau 3, logo há singularidades onde o denominador zera (isto é, em x=0 e x=-2). Essas singularidades apenas dizem onde a primitiva pode deixar de ser definida, mas não impedem o cálculo das primitivas por decomposição.
  • Não há outros parâmetros dependentes (o a do enunciado não aparece na integral), então seguiremos com a integral dada.

Passo 2

Primeiro passo técnico: fatorar o denominador para ver que tipo de frações parciais usar. Vamos fatorar x^{3}+2x^{2}. Colocando x^{2} em evidência obtemos
x^{3}+2x^{2} = x^{2}(x+2).
Isso mostra que o denominador tem um fator linear (x+2) e um fator linear repetido x com multiplicidade 2 (ou seja, x^{2}).

Passo 3

Agora a teoria necessária: quando temos uma função racional cuja parte fracionária tem denominador fatorado em fatores lineares, possuímos a técnica de frações parciais. Para um fator linear simples (x-\alpha) usamos um termo \dfrac{C}{x-\alpha}; para uma potência (x-\alpha)^k usamos termos \dfrac{A_1}{x-\alpha}+\dfrac{A_2}{(x-\alpha)^2}+\cdots+\dfrac{A_k}{(x-\alpha)^k}. Aqui, como o denominador é x^{2}(x+2), a decomposição geral (com constantes A,B,C) é
\frac{x+1}{x^{2}(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x+2}.
Explicando o porquê: o termo \dfrac{B}{x^{2}} cobre a potência x^{2}, e o \dfrac{A}{x} cobre a parte simples do mesmo fator; o \dfrac{C}{x+2} cobre o fator (x+2).

Passo 4

Vamos determinar A,B,C\). Multiplicamos a identidade acima por \(x^{2}(x+2)\) para eliminar denominadores: \[x+1 = A\cdot x(x+2) + B\cdot (x+2) + C\cdot x^{2}.
Agora expandimos os termos do lado direito:
A\cdot x(x+2) = A x^{2} + 2A x,
B\cdot (x+2) = B x + 2B,
C\cdot x^{2} = C x^{2}.
Somando:
x+1 = (A + C) x^{2} + (2A + B) x + 2B.
Como essa igualdade vale para todo x, comparamos coeficientes dos polinômios em ambos os lados. No lado esquerdo o polinômio é 0\cdot x^{2} + 1\cdot x + 1. Assim obtemos o sistema:
\begin{cases} A + C = 0,\\[4pt] 2A + B = 1,\\[4pt] 2B = 1. \end{cases}
Resolvendo: da terceira equação 2B=1\] vem \(B=\dfrac{1}{2}. Substituindo na segunda, 2A + \dfrac{1}{2} = 1 então 2A = \dfrac{1}{2} e A=\dfrac{1}{4}. Da primeira, C = -A = -\dfrac{1}{4}.]

Passo 5

Substituímos os coeficientes encontrados de volta na decomposição:
\frac{x+1}{x^{2}(x+2)} = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x+2}.
Isso é bom porque cada termo tem uma primitiva conhecida e simples.

Passo 6

Integrando termo a termo. Lembrando as primitivas básicas:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
  • \displaystyle \int x^{-2}\,dx = \int \frac{1}{x^{2}}\,dx = -\frac{1}{x} + C.
  • \displaystyle \int \frac{1}{x+2}\,dx = \ln|x+2| + C (pela substituição u=x+2 ou simplesmente pelo fato de ser deslocamento).
Aplicando essas regras com os fatores constantes:
\int \frac{x+1}{x^{3}+2x^{2}}\,dx = \int \left(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x+2}\right)dx
= \frac{1}{4}\ln|x| + \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{x}\right) - \frac{1}{4}\ln|x+2| + C.
Podemos reorganizar os termos logarítmicos:
\frac{1}{4}\ln|x| - \frac{1}{4}\ln|x+2| - \frac{1}{2x} + C = \frac{1}{4}\ln\left|\frac{x}{x+2}\right| - \frac{1}{2x} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\ln\left|\frac{x}{x+2}\right|-\frac{1}{2x}+C

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