Seja a \neq 0. Calcule
9) \int \frac{x+1}{x^{6}+8 x^{4}+16 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral imprópria (antiderivada)
\int \frac{x+1}{x^{6}+8 x^{4}+16 x^{2}}\,dx,
com a informação adicional de que a\neq 0 (aqui não é necessária para o cálculo direto). As informações relevantes dadas são:
\text{numerador: } x+1, \qquad \text{denominador: } x^{6}+8x^{4}+16x^{2}.
A tarefa é encontrar uma primitiva (uma função cujo derivada é a integranda), exibindo o passo a passo.

Passo 2

Primeiro simplificamos/ fatoramos o denominador para ver a estrutura da fração racional. Observamos que há um fator comum x^{2}:
x^{6}+8x^{4}+16x^{2}=x^{2}\bigl(x^{4}+8x^{2}+16\bigr).
Reconhecemos que x^{4}+8x^{2}+16 é um quadrado perfeito:
x^{4}+8x^{2}+16=(x^{2}+4)^{2}.
Portanto o denominador fatorado é
x^{2}(x^{2}+4)^{2},
e a integranda pode ser reescrita como
\frac{x+1}{x^{2}(x^{2}+4)^{2}}.

Passo 3

Vamos decompor em frações parciais. Como o denominador tem fatores lineares (potência de x) e quadráticos irreduzíveis (x^{2}+4) com potência 2, a forma geral da decomposição é
\frac{x+1}{x^{2}(x^{2}+4)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{Cx+D}{x^{2}+4}+\frac{Ex+F}{(x^{2}+4)^{2}},
onde A,B,C,D,E,F são constantes a determinar. Essa forma é padrão: para x^{2} usamos A/x+B/x^{2}; para (x^{2}+4)^{2} usamos termos sobre (x^{2}+4) e sobre (x^{2}+4)^{2} com numeradores gerais lineares.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x^{2}(x^{2}+4)^{2} para obter uma identidade polinomial:
x+1 = A x (x^{2}+4)^{2} + B (x^{2}+4)^{2} + (Cx+D)x^{2}(x^{2}+4) + (Ex+F)x^{2}.
Expandimos parcialmente termos necessários. Note que (x^{2}+4)^{2}=x^{4}+8x^{2}+16. Então, agrupando por potências de x, obtemos as identidades de coeficientes:
\begin{cases} \text{coef. de } x^{5}: & A + C = 0,\\[4pt] \text{coef. de } x^{4}: & B + D = 0,\\[4pt] \text{coef. de } x^{3}: & 8A + 4C + E = 0,\\[4pt] \text{coef. de } x^{2}: & 8B + 4D + F = 0,\\[4pt] \text{coef. de } x^{1}: & 16A = 1,\\[4pt] \text{coef. de } x^{0}: & 16B = 1. \end{cases}
Essas equações vêm da expansão termo a termo (mostramos apenas o sistema resultante para agilizar).]

Passo 5

Resolvemos as equações simples do sistema, começando pelas fáceis:
16A=1 \implies A=\tfrac{1}{16},\qquad 16B=1\implies B=\tfrac{1}{16}.
Das duas primeiras equações:
A+C=0 \implies C=-A=-\tfrac{1}{16}, \qquad B+D=0\implies D=-B=-\tfrac{1}{16}.
Agora usamos a equação para o coeficiente de x^{3}:
8A+4C+E=0.
Substituindo A=\tfrac{1}{16} e C=-\tfrac{1}{16}:
8\cdot\tfrac{1}{16} + 4\cdot\bigl(-\tfrac{1}{16}\bigr) + E = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{4} + E = \tfrac{1}{4}+E = 0,
logo E=-\tfrac{1}{4}.
Usamos a equação para o coeficiente de x^{2}:
8B+4D+F=0.
Com B=\tfrac{1}{16}, D=-\tfrac{1}{16} obtemos
8\cdot\tfrac{1}{16} + 4\cdot\bigl(-\tfrac{1}{16}\bigr) + F = \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}+F=\tfrac{1}{4}+F=0,
logo F=-\tfrac{1}{4}.
Resumo dos coeficientes:
A=\tfrac{1}{16},\; B=\tfrac{1}{16},\; C=-\tfrac{1}{16},\; D=-\tfrac{1}{16},\; E=-\tfrac{1}{4},\; F=-\tfrac{1}{4}.

Passo 6

Escrevemos a decomposição com os coeficientes encontrados:
\frac{x+1}{x^{2}(x^{2}+4)^{2}}=\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{x}-\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{16}\cdot\frac{x+1}{x^{2}+4}-\frac{1}{4}\cdot\frac{x+1}{(x^{2}+4)^{2}}.
Para integrar, vamos separar os termos convenientemente:
\frac{x+1}{x^{2}(x^{2}+4)^{2}}= \frac{1}{16}\cdot\frac{1}{x}-\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{x^{2}} -\frac{1}{16}\cdot\frac{x}{x^{2}+4}-\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{x^{2}+4} -\frac{1}{4}\cdot\frac{x}{(x^{2}+4)^{2}}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{(x^{2}+4)^{2}}.

Passo 7

Integramos termo a termo. Primeiro os termos fáceis:
\int \frac{1}{16}\cdot\frac{1}{x}\,dx=\tfrac{1}{16}\ln|x| + C_1,
\int -\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{x^{2}}\,dx = -\frac{1}{16}\int x^{-2}dx = -\frac{1}{16}\left(-\frac{1}{x}\right)= -\frac{1}{16x}+C_2.

Passo 8

Agora integramos os termos com \dfrac{x}{x^{2}+4} e \dfrac{1}{x^{2}+4}. Usamos as fórmulas básicas:
\int \frac{x}{x^{2}+a^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\ln(x^{2}+a^{2})+C, \qquad \int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx=\frac{1}{a}\arctan\!\frac{x}{a}+C.
Aqui a=2. Assim:
\int -\frac{1}{16}\cdot\frac{x}{x^{2}+4}\,dx = -\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{2}\ln(x^{2}+4) = -\frac{1}{32}\ln(x^{2}+4),
\int -\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{x^{2}+4}\,dx = -\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{2}\arctan\!\frac{x}{2} = -\frac{1}{32}\arctan\!\frac{x}{2}.

Passo 9

Falta integrar os dois termos sobre (x^{2}+4)^{2}:
I_1=\int -\frac{1}{4}\cdot\frac{x}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx, \qquad I_2=\int -\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx.
Para I_1 usamos a substituição u=x^{2}+4, de modo que du=2x\,dx, logo x\,dx=\tfrac{1}{2}du. Assim
\int \frac{x}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx=\int \frac{1}{2}\frac{du}{u^{2}}=-\frac{1}{2}\frac{1}{u}=-\frac{1}{2(x^{2}+4)}.
Multiplicando pelo coeficiente -\tfrac{1}{4} obtemos
I_1=-\frac{1}{4}\cdot\left(-\frac{1}{2(x^{2}+4)}\right)=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{x^{2}+4}.
Para I_2 precisamos da primitiva de \dfrac{1}{(x^{2}+a^{2})^{2}}. Podemos derivar a fórmula padrão: com a=2, uma maneira elegante é fazer a mudança x=2t (ou usar decomposição conhecida). Faço a troca x=2t para mostrar o passo:
\int \frac{dx}{(x^{2}+4)^{2}} = \int \frac{2\,dt}{(4t^{2}+4)^{2}}=\frac{2}{16}\int \frac{dt}{(t^{2}+1)^{2}}=\frac{1}{8}\int \frac{dt}{(1+t^{2})^{2}}.
Agora obtemos \int \dfrac{dt}{(1+t^{2})^{2}}. Note que
\frac{1}{(1+t^{2})^{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1-t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+t^{2}},
porque essa combinação satisfaz a identidade (pode verificar agrupando termos). Mas \dfrac{1-t^{2}}{(1+t^{2})^{2}} é a derivada de \dfrac{t}{1+t^{2}} (veja: (t/(1+t^{2}))'=(1-t^{2})/(1+t^{2})^{2}). Portanto
\int \frac{dt}{(1+t^{2})^{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{t}{1+t^{2}}+\frac{1}{2}\arctan t + C.
Voltando a x com t=\tfrac{x}{2}, obtemos
\int \frac{dx}{(x^{2}+4)^{2}} = \frac{1}{8}\left(\frac{t}{1+t^{2}}+\arctan t\right)+C = \frac{1}{8}\left(\frac{\tfrac{x}{2}}{1+(\tfrac{x}{2})^{2}}+\arctan\!\frac{x}{2}\right)+C.
Simplificando a fração:
\frac{\tfrac{x}{2}}{1+(\tfrac{x}{2})^{2}}=\frac{x/2}{1+x^{2}/4}=\frac{x/2}{(4+x^{2})/4}=\frac{x}{2}\cdot\frac{4}{x^{2}+4}=\frac{2x}{x^{2}+4}.
Então
\int \frac{dx}{(x^{2}+4)^{2}}=\frac{1}{8}\left(\frac{2x}{x^{2}+4}+\arctan\!\frac{x}{2}\right)+C =\frac{x}{4(x^{2}+4)}+\frac{1}{8}\arctan\!\frac{x}{2}+C.
Multiplicando por -\tfrac{1}{4} (o coeficiente de I_2) obtemos
I_2 = -\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{x}{4(x^{2}+4)}+\frac{1}{8}\arctan\!\frac{x}{2}\right) = -\frac{x}{16(x^{2}+4)} -\frac{1}{32}\arctan\!\frac{x}{2}.

Passo 10

Somamos todas as contribuições parciais obtidas. Reunindo as primitivas:
\begin{aligned} \int \frac{x+1}{x^{6}+8x^{4}+16x^{2}}\,dx &= \tfrac{1}{16}\ln|x| \;-\; \tfrac{1}{16x} \;-\; \tfrac{1}{32}\ln(x^{2}+4)\;-\; \tfrac{1}{32}\arctan\!\frac{x}{2}\\\ &\quad {} + \frac{1}{8}\cdot\frac{1}{x^{2}+4} \;-\; \frac{x}{16(x^{2}+4)} \;-\; \frac{1}{32}\arctan\!\frac{x}{2} + C. \end{aligned}
Agora combinamos os termos de \arctan (dois termos iguais -\tfrac{1}{32}\arctan\frac{x}{2}), somando-os para obter -\tfrac{1}{16}\arctan\frac{x}{2}. Também podemos simplificar os termos racionais sobre x^{2}+4: \frac{1}{8}\cdot\frac{1}{x^{2}+4}-\frac{x}{16(x^{2}+4)}=\frac{2}{16}\cdot\frac{1}{x^{2}+4}-\frac{x}{16(x^{2}+4)}=\frac{2-x}{16}\cdot\frac{1}{x^{2}+4}. Mantemos a forma que considerar mais clara. Assim uma forma final limpa é:
\int \frac{x+1}{x^{6}+8x^{4}+16x^{2}}\,dx = \frac{1}{16}\ln|x| -\frac{1}{16x} -\frac{1}{32}\ln(x^{2}+4) -\frac{1}{16}\arctan\!\frac{x}{2} +\frac{1}{8(x^{2}+4)} -\frac{x}{16(x^{2}+4)} + C.

Resposta

\frac{1}{16}\ln|x| -\frac{1}{16x} -\frac{1}{32}\ln(x^{2}+4) -\frac{1}{16}\arctan\!\frac{x}{2} +\frac{1}{8(x^{2}+4)} -\frac{x}{16(x^{2}+4)} + C

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