Reconhecemos que x^{4}+8x^{2}+16 é um quadrado perfeito:
x^{4}+8x^{2}+16=(x^{2}+4)^{2}.
Portanto o denominador fatorado é
x^{2}(x^{2}+4)^{2},
e a integranda pode ser reescrita como
\frac{x+1}{x^{2}(x^{2}+4)^{2}}.
Passo 3
Vamos decompor em frações parciais. Como o denominador tem fatores lineares (potência de x) e quadráticos irreduzíveis (x^{2}+4) com potência 2, a forma geral da decomposição é
onde A,B,C,D,E,F são constantes a determinar. Essa forma é padrão: para x^{2} usamos A/x+B/x^{2}; para (x^{2}+4)^{2} usamos termos sobre (x^{2}+4) e sobre (x^{2}+4)^{2} com numeradores gerais lineares.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por x^{2}(x^{2}+4)^{2} para obter uma identidade polinomial:
x+1 = A x (x^{2}+4)^{2} + B (x^{2}+4)^{2} + (Cx+D)x^{2}(x^{2}+4) + (Ex+F)x^{2}.
Expandimos parcialmente termos necessários. Note que (x^{2}+4)^{2}=x^{4}+8x^{2}+16. Então, agrupando por potências de x, obtemos as identidades de coeficientes:
\begin{cases} \text{coef. de } x^{5}: & A + C = 0,\\[4pt] \text{coef. de } x^{4}: & B + D = 0,\\[4pt] \text{coef. de } x^{3}: & 8A + 4C + E = 0,\\[4pt] \text{coef. de } x^{2}: & 8B + 4D + F = 0,\\[4pt] \text{coef. de } x^{1}: & 16A = 1,\\[4pt] \text{coef. de } x^{0}: & 16B = 1. \end{cases}
Essas equações vêm da expansão termo a termo (mostramos apenas o sistema resultante para agilizar).]
Passo 5
Resolvemos as equações simples do sistema, começando pelas fáceis:
Para I_2 precisamos da primitiva de \dfrac{1}{(x^{2}+a^{2})^{2}}. Podemos derivar a fórmula padrão: com a=2, uma maneira elegante é fazer a mudança x=2t (ou usar decomposição conhecida). Faço a troca x=2t para mostrar o passo:
porque essa combinação satisfaz a identidade (pode verificar agrupando termos). Mas \dfrac{1-t^{2}}{(1+t^{2})^{2}} é a derivada de \dfrac{t}{1+t^{2}} (veja: (t/(1+t^{2}))'=(1-t^{2})/(1+t^{2})^{2}). Portanto
\int \frac{dt}{(1+t^{2})^{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{t}{1+t^{2}}+\frac{1}{2}\arctan t + C.
Agora combinamos os termos de \arctan (dois termos iguais -\tfrac{1}{32}\arctan\frac{x}{2}), somando-os para obter -\tfrac{1}{16}\arctan\frac{x}{2}. Também podemos simplificar os termos racionais sobre x^{2}+4: \frac{1}{8}\cdot\frac{1}{x^{2}+4}-\frac{x}{16(x^{2}+4)}=\frac{2}{16}\cdot\frac{1}{x^{2}+4}-\frac{x}{16(x^{2}+4)}=\frac{2-x}{16}\cdot\frac{1}{x^{2}+4}. Mantemos a forma que considerar mais clara. Assim uma forma final limpa é: