Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais de \mathbb{R}^{3} :
X=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x+y-z=0\right\};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
X = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x + y - z = 0\}
é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. Para isso, vamos usar o critério de subespaço: mostrar que X não é vazio, é fechado sob soma de vetores e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar que o vetor nulo pertence a X. Substituindo (x,y,z)=(0,0,0) na equação,
0 + 0 - 0 = 0,
logo (0,0,0)\in X. Assim, X não é vazio.

Passo 3

Verificar fechamento sob adição. Seja (x_1,y_1,z_1)\in X e (x_2,y_2,z_2)\in X. Então
x_1 + y_1 - z_1 = 0 \quad\text{e}\quad x_2 + y_2 - z_2 = 0.
Somando as duas igualdades obtemos
(x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) - (z_1 + z_2) = (x_1 + y_1 - z_1) + (x_2 + y_2 - z_2) = 0 + 0 = 0.
Portanto (x_1+x_2,\,y_1+y_2,\,z_1+z_2)\in X, ou seja, X é fechado sob soma.

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação por escalar. Seja (x,y,z)\in X e \lambda\in\mathbb{R}. Como x + y - z = 0, multiplicando por \lambda resulta
\lambda x + \lambda y - \lambda z = \lambda\,(x + y - z) = \lambda \cdot 0 = 0.
Logo (\lambda x,\,\lambda y,\,\lambda z)\in X, mostrando que X é fechado sob escalar.

Passo 5

Como X contém o vetor nulo, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que X é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

Resposta

Sim. X é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

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