Seja a neq 0 um real fixo. Verifique que
integral cos a x d x=1a sin a x+k

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
integral cos(a x),dx = 1a,sin(a x) + k
com aneq 0. O conteúdo aqui é antiderivação usando substituição e, em seguida, checar por derivação.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = a x, du = a,dx Longrightarrow dx = dua
Então
integral cos(a x),dx = integral cos(u),dua = 1a,integral cos(u),du

Passo 3

Sabemos que
integral cos(u),du = sin(u) + k
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integral cos(a x),dx = 1a,sin(u) + k

Passo 4

Voltando a u = a x, obtemos
integral cos(a x),dx = 1a,sin(a x) + k
Para confirmar, derivamos
ddxl(tfrac1asin(a x)+kr) = tfrac1acos(a x)cdot a = cos(a x),
que é o integrando original.

Resposta

integral cos(a x),dx = 1a,sin(a x) + k

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