Verifique se as equações abaixo são - onı nāo - exatas e encontre suas respectivas soluções gerais.
/1,25 pts)
(2 x+3 y) d x+(3 x+2 y) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(2x+3y),dx + (3x+2y),dy = 0
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar a solução geral. O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais exatas, onde devemos checar a igualdade das derivadas parciais de M(x,y) e N(x,y) e depois construir uma função potencial phi(x,y).

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 2x + 3y, N(x,y) = 3x + 2y
Para testar exatidão, calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = 3, partial Npartial x = 3

Passo 3

Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata. Logo, existe uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x = M(x,y), partial phipartial y = N(x,y)

Passo 4

Para achar phi, integramos M em relação a x:
phi(x,y) = integral (2x+3y),dx = x^2 + 3xy + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Agora impomos
partial phipartial y = 3x + h'(y) stackrel!= N(x,y) = 3x + 2y,
o que dá h'(y)=2y. Integrando,
h(y) = y^2 + C
Portanto
phi(x,y) = x^2 + 3xy + y^2
A solução geral é dada por phi(x,y)=constante.

Resposta

x^2 + 3xy + y^2 = C

Exercícios relacionados