Verifique se as equações abaixo são - onı nāo - exatas e encontre suas respectivas soluções gerais.
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Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar a solução geral. O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais exatas, onde devemos checar a igualdade das derivadas parciais de
e
e depois construir uma função potencial
.
Passo 2
Identificamos
Para testar exatidão, calculamos as derivadas parciais
Passo 3
Como
, a equação é exata. Logo, existe uma função potencial
tal que
Passo 4
Para achar
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 5
Agora impomos
o que dá
. Integrando,
Portanto
A solução geral é dada por
.