Seja f(x, y)=2-x^2-y^2
Qual é o nome do lugar geométrico cujos pontos pertencem ao gráfico dessa função?

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis
f(x,y)=2 - x^2 - y^2
e pergunta qual é o lugar geométrico formado por todos os pontos (x,y,z) que pertencem ao gráfico de f. Em outras palavras, queremos identificar a superfície em R^3 dada pela equação
z = 2 - x^2 - y^2

Passo 2

Reescrevendo a equação de forma a evidenciar o tipo de superfície, temos
z = 2 - x^2 - y^2 Long<=ftrightarrow x^2 + y^2 + z - 2 = 0
Trata-se de uma equação quadrática em x,y,z, característica de superfícies quádricas.

Passo 3

Para entender a forma da superfície, analisamos suas seções:
  1. Seção horizontal para z=c:
x^2 + y^2 = 2 - c,
que é um círculo de raio raiz2-c (quando c<2).
2. Seções verticais em planos x=0 ou y=0 dão equações do tipo
z = 2 - y^2 ou z = 2 - x^2,
que são parábolas.
Horizontalmente temos círculos (caso especial de elipses) e verticalmente parábolas, o que caracteriza um paraboloide elíptico.

Passo 4

O sinal negativo em x^2 e y^2 faz com que a superfície se abra para baixo, tendo seu vértice em (0,0,2).

Resposta

A superfície é um paraboloide elíptico voltado para baixo.

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