Dada a curva
a) Calcule a derivada de y em relação a x.
b) Determine a(s) tangente(s) horizontais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma curva definida por equações paramétricas:
x = cos^2 t y = 1 - sin t , 0 <= t <= 2pi
Estamos lidando com cálculo paramétrico, onde queremos:
a) Calcular a derivada de y em relação a x , ou seja, dydx .
b) Encontrar os pontos onde a tangente é horizontal.
Passo 2
Primeiro, para encontrar dydx em termos de t , usamos a regra da cadeia, que diz:
dydx = dydtdxdt
Isso significa que precisamos calcular dydt e dxdt separadamente.
Passo 3
Vamos calcular dydt . Dada y = 1 - sin t , derivando em relação a t :
dydt = -cos t
Passo 4
Agora, vamos calcular dxdt . Dada x = cos^2 t , podemos usar a regra da cadeia:
dxdt = 2cos t cdot (-sin t) = -2cos t sin t
Passo 5
Agora que temos dydt e dxdt , substituímos na fórmula da derivada:
dydx = -cos t-2cos t sin t = 12 sin t
Então, a derivada de y em relação a x é 12 sin t .
Passo 6
Para encontrar as tangentes horizontais, precisamos achar onde dydx = 0 . Vendo a expressão que encontramos:
dydx = 12 sin t
Para que isso seja igual a zero, o denominador precisaria ser infinito, o que não acontece para valores finitos de t . Porém, como 12 sin t nunca é zero, isso sugere que não há tangentes horizontais na curva definida.
Resposta
a) A derivada de y em relação a x é dydx = 12 sin t .
b) Não existem tangentes horizontais na curva definida.