Encontre uma equação da tangente da curva no ponto dado: ; para .
Passo 1
O enunciado dá uma curva no plano em forma paramétrica
e pede a reta tangente a essa curva quando o parâmetro vale . Para isso precisamos de dois ingredientes: o ponto da curva em e a inclinação da reta tangente, que é
Passo 2
Calcular o ponto da curva em . Basta substituir:
Logo o ponto é .
Passo 3
Encontrar e .
Para temos
Para , note que . Seja , então
Portanto
Passo 4
Avaliar essas derivadas em e formar .
Logo a inclinação da tangente é
dydx|t=e = -2,e^-e1/e = -2,e^1-e
Passo 5
Escrever a equação da reta tangente em forma ponto-inclinação: