Encontre uma equação da tangente da curva no ponto dado: x=1+ln t, y=t^-t+2; para t=e.

Passo 1

O enunciado dá uma curva no plano em forma paramétrica
x = 1 + ln t, y = t^-t + 2
e pede a reta tangente a essa curva quando o parâmetro vale t=e. Para isso precisamos de dois ingredientes: o ponto da curva em t=e e a inclinação da reta tangente, que é
dydx = dydtdxdt

Passo 2

Calcular o ponto da curva em t=e. Basta substituir:
x(e) = 1 + ln e = 1 + 1 = 2,
y(e) = e^-e + 2
Logo o ponto é l(2,;2 + e^-er).

Passo 3

Encontrar dxdt e dydt.
Para x(t)=1+ln t temos
dxdt = ddt(ln t) = 1t
Para y(t)=t^-t+2, note que t^-t=e^-tln t. Seja u(t)=-tln t, então
ddtl(t^-tr) = t^-t,dudt, dudt = -ln t - 1
Portanto
dydt = ddtl(t^-tr) = -l(ln t + 1r),t^-t

Passo 4

Avaliar essas derivadas em t=e e formar dydx.
dxdt|t=e = 1e, dydt|t=e = -l(ln e +1r),e^-e = -2,e^-e
Logo a inclinação da tangente é
dydx|t=e = -2,e^-e1/e = -2,e^1-e

Passo 5

Escrever a equação da reta tangente em forma ponto-inclinação:
y - y0 = m,(x - x0),
onde l(x0,y0r)=l(2,,2+e^-er) e m=-2e^1-e. Assim
y - l(2+e^-er) = -2,e^1-e,(x - 2)

Resposta

boxedy - l(2 + e^-er) = -2,e^1-e,(x - 2)

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