Seja z=a+2 i um número complexo, em que a in R é positivo. O valor de a para que as representações de 1, z e z^2 no plano de Argand-Gauss formem um triângulo de área 200 é
lllll A()) 14 & B()) 15 & C() 16 & D ( ) 17 & E ( ) 18

Passo 1

O enunciado nos dá o número complexo z = a + 2i com a>0 real, e pede para que os pontos correspondentes a 1, z e z^2 no plano de Argand formem um triângulo de área 200. Vamos usar a fórmula da área de um triângulo com vértices em números complexos ou, equivalentemente, a área via determinante de vetores no plano.

Passo 2

Representamos os pontos no plano como coordenadas:
O ponto A associado a 1 é (1,0),
B associado a z é (a,2),
C associado a z^2 é (a^2 - 4,4a), pois
z^2 = (a+2i)^2 = a^2 -4 +4ai
Os vetores AB = (a-1,2) e AC = (a^2-5,4a).
A área do triângulo vale metade do valor absoluto do determinante desses vetores, então
Área = tfrac12l|deta-1 & a^2-52 & 4ar| = tfrac12l|(a-1)cdot4a - 2cdot(a^2-5)r|Á
Fazendo as contas:
(a-1)cdot4a - 2(a^2-5) = 4a^2 -4a -2a^2 +10 = 2a^2 -4a +10,
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Área = tfrac12l|2a^2 -4a +10r| = |a^2 -2a +5|Á
Como a^2 -2a +5 = (a-1)^2 +4>0, temos
Área = (a-1)^2 +4Á

Passo 3

Igualando essa área a 200, obtemos
(a-1)^2 +4 = 200 Longrightarrow (a-1)^2 =196 Longrightarrow a-1 = pm14
Como a>0, descartamos a-1=-14 (que daria a=-13). Assim
a-1 =14Rightarrow a=15

Resposta

15

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