Considere as afirmações:
I. Existe um poliedro formado por 3 faces triangulares e as demais faces quadrangulares.
II. Existe um poliedro não convexo com 5 vértices, 9 arestas e 6 faces.
III. Existe um poliedro convexo com 7 vértices, 16 arestas e 11 faces.
Está(ão) correta(s):
A ( ) I e II.
C ( ) II E III.
E ( ) apenas II.
B()Ie III.
D ( ) apenas III.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a existência de certos poliedros, usando a fórmula de Euler V - E + F = 2 e as restrições de planaridade (para poliedros convexos e simples não côncavos).

Passo 2

Para I: suponha que há 3 faces triangulares e q faces quadrangulares, total de faces F = 3 + q. A soma dos lados das faces é 3cdot3 + 4q = 9 + 4q = 2E, logo E = (9 + 4q)/2. Mas 9 + 4q é ímpar, então E não pode ser inteiro. Concluímos que não existe tal poliedro.

Passo 3

Para II: dados V=5, E=9, F=6. Verifique Euler: 5 - 9 + 6 = 2, ok. Em grafos planares temos E <= 3V - 6 = 9, então atingir E=9 é possível (é o caso de um grafo maximal planar, todas as faces triangulares). Logo existe um poliedro (seja convexo ou não côncavo) com esses parâmetros.

Passo 4

Para III: dados V=7, E=16, F=11. Verifique Euler: 7 - 16 + 11 = 2, ok. Mas para grafos planares precisamos E <= 3V - 6 = 15, e aqui 16>15. Portanto não existe poliedro convexo com esses números de vértices e arestas.

Resposta

Apenas II.

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