Considere as afirmações:
I. Existe um poliedro formado por 3 faces triangulares e as demais faces quadrangulares.
II. Existe um poliedro não convexo com 5 vértices, 9 arestas e 6 faces.
III. Existe um poliedro convexo com 7 vértices, 16 arestas e 11 faces.
Está(ão) correta(s):
A ( ) I e II.
C ( ) II E III.
E ( ) apenas II.
B()Ie III.
D ( ) apenas III.
I. Existe um poliedro formado por 3 faces triangulares e as demais faces quadrangulares.
II. Existe um poliedro não convexo com 5 vértices, 9 arestas e 6 faces.
III. Existe um poliedro convexo com 7 vértices, 16 arestas e 11 faces.
Está(ão) correta(s):
A ( ) I e II.
C ( ) II E III.
E ( ) apenas II.
B()Ie III.
D ( ) apenas III.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a existência de certos poliedros, usando a fórmula de Euler
e as restrições de planaridade (para poliedros convexos e simples não côncavos).
Passo 2
Para I: suponha que há
faces triangulares e
faces quadrangulares, total de faces
. A soma dos lados das faces é
, logo
. Mas
é ímpar, então
não pode ser inteiro. Concluímos que não existe tal poliedro.
Passo 3
Para II: dados
,
,
. Verifique Euler:
, ok. Em grafos planares temos
, então atingir
é possível (é o caso de um grafo maximal planar, todas as faces triangulares). Logo existe um poliedro (seja convexo ou não côncavo) com esses parâmetros.
Passo 4
Para III: dados
,
,
. Verifique Euler:
, ok. Mas para grafos planares precisamos
, e aqui
. Portanto não existe poliedro convexo com esses números de vértices e arestas.
Resposta
Apenas II.