Calcule:
\frac{i}{(1+\sqrt{3} i)^{12}}

Passo 1

O enunciado pede calcular \frac{i}{(1+\sqrt{3}\,i)^{12}}. O conteúdo aqui é números complexos em forma polar: vamos converter 1+\sqrt{3}\,i em módulo e argumento, elevar à décima segunda potência e simplificar.

Passo 2

Calcular módulo e argumento de z=1+\sqrt{3}\,i. O módulo é
|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=2,
e o argumento \theta satisfaz \tan\theta=\sqrt{3}, logo
\theta=\frac{\pi}{3}.
Portanto
z=2e^{i\pi/3}.

Passo 3

Elevar z à potência 12:
z^{12}=(2e^{i\pi/3})^{12}=2^{12}e^{i\,12\cdot(\pi/3)} =4096\,e^{i4\pi}=4096\cdot1=4096.

Passo 4

Substituindo na expressão original,
\frac{i}{(1+\sqrt{3}\,i)^{12}} =\frac{i}{z^{12}} =\frac{i}{4096}.

Resposta

\displaystyle \frac{i}{4096}

Exercícios relacionados