Sejam e números naturais e considere a função definida por:
Se a função é contínua em x=0, determine a+b.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes e precisa garantir que ela seja contínua em $ x = 0 $. Isso envolve entender um pouco de cálculo sobre limites e continuidade. Vamos precisar calcular os limites da função à esquerda e à direita de $ x = 0 $ e garantir que eles sejam iguais ao valor da função nesse ponto. No final, vamos descobrir o valor de $ a + b $.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece quando $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda, ou seja, quando $ x < 0 $. Nessa região, a função é definida por:
x
Quando $ x $ se aproxima de 0, $ |x - 1| = |0 - 1| = 1 $. Então, o limite da função pela esquerda é:
x < 0
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece quando $ x $ se aproxima de 0 pela direita, ou seja, quando $ x > 0 $. Nesse caso, a função é:
x
Para calcular esse limite, lembramos que:
x > 0
Então, podemos reescrever o limite como:
f(x) = sin(2x)sin(3x)
Passo 4
Para a função ser contínua em $ x = 0 $, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais ao valor da função nesse ponto, ou seja: