Sejam a e b números naturais e considere a função f: R R definida por:
f(x)= |x-1|^3+3 a, & se x<0 b, & se x=0, sin (2 x)sin (3 x), & se x>0
Se a função é contínua em x=0, determine a+b.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes e precisa garantir que ela seja contínua em $ x = 0 $. Isso envolve entender um pouco de cálculo sobre limites e continuidade. Vamos precisar calcular os limites da função à esquerda e à direita de $ x = 0 $ e garantir que eles sejam iguais ao valor da função nesse ponto. No final, vamos descobrir o valor de $ a + b $.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda, ou seja, quando $ x < 0 $. Nessa região, a função é definida por:
x
Quando $ x $ se aproxima de 0, $ |x - 1| = |0 - 1| = 1 $. Então, o limite da função pela esquerda é:
x < 0

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando $ x $ se aproxima de 0 pela direita, ou seja, quando $ x > 0 $. Nesse caso, a função é:
x
Para calcular esse limite, lembramos que:
x > 0
Então, podemos reescrever o limite como:
f(x) = sin(2x)sin(3x)

Passo 4

Para a função ser contínua em $ x = 0 $, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais ao valor da função nesse ponto, ou seja:
x = 0
Primeiro, vamos encontrar o valor de $ a $:
1 + 3a = b = 23
a
1 + 3a = 23
3a = 23 - 1
Agora, já sabemos que $ b = \frac{2}{3} $.

Resposta

A soma de $ a + b $ é:
a + b

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