Seja a um número real. Considere o subespaço W=\left\{p \in \mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}): p(a)=0\right\} de \mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}). Prove que \left\{x-a,(x-a)^{2}, \ldots,(x-a)^{n}\right\} é uma base de W. (Sugestão: Considere a função avaliação \left.F_{a}: \mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}, F_{a}(p)=p(a).\right)
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que o conjunto \{x-a,(x-a)^{2},\ldots,(x-a)^{n}\} é uma base do subespaço
W=\{p\in\mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}) : p(a)=0\}.
Informações dadas e perguntas claras:
Foi dado um número real a.
Foi definido o subespaço W de \mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}) formado pelos polinômios de grau \leq n que se anulam em x=a.
Queremos provar que o conjunto \{x-a,(x-a)^{2},\ldots,(x-a)^{n}\} é uma base de W, isto é, que ele gera W e é linearmente independente (ou, de forma equivalente, gera W e tem o mesmo número de vetores que a dimensão de W).
Passo 2
Apresento a aplicação de avaliação sugerida e explico por que ela é útil. Defina a função
Esta aplicação pega um polinômio p e devolve o número real p(a).
Vou mostrar que F_{a} é linear, porque isso nos permite usar o teorema da dimensão (teorema do posto-núcleo, ou rank-nullity). Verificação de linearidade:
Para p,q\in\mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}) e \lambda\in\mathbb{R},
Calculo a dimensão de W usando o teorema do posto-núcleo. Primeiro, lembrando que \mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}) (polinômios de grau \leq n) tem dimensão n+1 com base canônica \{1,x,x^{2},\ldots,x^{n}\}. Agora avalio a imagem de F_{a}:
Qual é \operatorname{Im}(F_{a})? Note que para qualquer c\in\mathbb{R} o polinômio constante p(x)=c pertence a \mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}) e F_{a}(p)=c. Assim a imagem contém todos os reais, ou seja \operatorname{Im}(F_{a})=\mathbb{R}. Portanto \dim(\operatorname{Im}(F_{a}))=1.
Aplicando a relação dimensão (rank-nullity):
Esse é um ponto-chave: o subespaço W tem dimensão n.
Passo 5
Aponto o conjunto candidato e conto seus elementos. Considere
S=\{x-a,(x-a)^{2},\ldots,(x-a)^{n}\}.
Esse conjunto tem exatamente n elementos. Para provar que S é uma base de W basta mostrar que S\subseteq W e que gera W (ou alternativamente mostrar que é linearmente independente em W); como \dim(W)=n e |S|=n, qualquer das duas propriedades (gerar ou ser LI) mais a inclusão em W já garante que S é base.
Passo 6
Verifico que cada elemento de S pertence a W. Para todo k=1,\ldots,n,
(x-a)^{k}\big|_{x=a}= (a-a)^{k}=0,
logo (x-a)^{k}\in W. Assim S\subseteq W.
Passo 7
Mostro que S gera W. Pegue um polinômio arbitrário p\in W. Então p(a)=0. Aplico a divisão de polinômios (ou o lema conhecido como teorema do resto/fator): dados p(x) e o divisor x-a, existem q(x) e r\in\mathbb{R} com \deg r<1 tal que
p(x)=(x-a)q(x)+r.
Avaliando em x=a obtemos p(a)=r. Como p(a)=0, segue r=0. Portanto
p(x)=(x-a)q(x).
Além disso \deg q\le n-1, isto é q\in\mathcal{P}_{n-1}(\mathbb{R}).
Agora uso uma ideia simples e intuitiva: faça a mudança de variável y=x-a. Quando visto como polinômio em y, o espaço \mathcal{P}_{n-1}(\mathbb{R}) tem base \{1,y,y^{2},\ldots,y^{n-1}\}. Substituindo y=x-a obtemos que \{1,(x-a),(x-a)^{2},\ldots,(x-a)^{n-1}\} é uma base de \mathcal{P}_{n-1}(\mathbb{R}). Então existe escalares c_{0},c_{1},\ldots,c_{n-1}\in\mathbb{R} tais que
Isso mostra que p é combinação linear de (x-a),(x-a)^{2},\ldots,(x-a)^{n}, isto é, p\in\operatorname{span}(S). Como p era arbitrário em W, segue W\subseteq\operatorname{span}(S). Juntando com S\subseteq W temos
\operatorname{span}(S)=W.
Passo 8
Concluo a base usando o argumento de dimensão. Já estabeleci:
S\subseteq W.
\operatorname{span}(S)=W, logo S gera W.
|S|=n e \dim(W)=n.
Se um conjunto de n vetores gera um espaço vetorial de dimensão n, então esse conjunto é uma base (porque gerar + ter o mesmo número de vetores que a dimensão implica linear independência). Portanto S é uma base de W.
Resposta
\{x-a,(x-a)^{2},\ldots,(x-a)^{n}\} é uma base de W.