Seja a um número real. Considere o subespaço W=\left\{p \in \mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}): p(a)=0\right\} de \mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}). Prove que \left\{x-a,(x-a)^{2}, \ldots,(x-a)^{n}\right\} é uma base de W. (Sugestão: Considere a função avaliação \left.F_{a}: \mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}, F_{a}(p)=p(a).\right)

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que o conjunto \{x-a,(x-a)^{2},\ldots,(x-a)^{n}\} é uma base do subespaço
W=\{p\in\mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}) : p(a)=0\}.
Informações dadas e perguntas claras:
  • Foi dado um número real a.
  • Foi definido o subespaço W de \mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}) formado pelos polinômios de grau \leq n que se anulam em x=a.
  • Queremos provar que o conjunto \{x-a,(x-a)^{2},\ldots,(x-a)^{n}\} é uma base de W, isto é, que ele gera W e é linearmente independente (ou, de forma equivalente, gera W e tem o mesmo número de vetores que a dimensão de W).

Passo 2

Apresento a aplicação de avaliação sugerida e explico por que ela é útil. Defina a função
F_{a}:\mathcal{P}_{n}(\mathbb{R})\to\mathbb{R},\qquad F_{a}(p)=p(a).
Esta aplicação pega um polinômio p e devolve o número real p(a).
Vou mostrar que F_{a} é linear, porque isso nos permite usar o teorema da dimensão (teorema do posto-núcleo, ou rank-nullity). Verificação de linearidade:
  • Para p,q\in\mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}) e \lambda\in\mathbb{R},
F_{a}(p+q)= (p+q)(a)=p(a)+q(a)=F_{a}(p)+F_{a}(q),
F_{a}(\lambda p)= (\lambda p)(a)=\lambda p(a)=\lambda F_{a}(p).
Portanto F_{a} é linear.

Passo 3

Identifico o núcleo (kernel) de F_{a} e relaciono com W. O núcleo é
\ker(F_{a})=\{p\in\mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}): F_{a}(p)=0\}=\{p\in\mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}): p(a)=0\},
que é exatamente o subespaço W. Logo
W=\ker(F_{a}).

Passo 4

Calculo a dimensão de W usando o teorema do posto-núcleo. Primeiro, lembrando que \mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}) (polinômios de grau \leq n) tem dimensão n+1 com base canônica \{1,x,x^{2},\ldots,x^{n}\}. Agora avalio a imagem de F_{a}:
  • Qual é \operatorname{Im}(F_{a})? Note que para qualquer c\in\mathbb{R} o polinômio constante p(x)=c pertence a \mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}) e F_{a}(p)=c. Assim a imagem contém todos os reais, ou seja \operatorname{Im}(F_{a})=\mathbb{R}. Portanto \dim(\operatorname{Im}(F_{a}))=1.
    Aplicando a relação dimensão (rank-nullity):
\dim(\mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}))=\dim(\ker(F_{a}))+\dim(\operatorname{Im}(F_{a})).
Substituindo números:
n+1 = \dim(W) + 1.
Logo
\dim(W)=n.
Esse é um ponto-chave: o subespaço W tem dimensão n.

Passo 5

Aponto o conjunto candidato e conto seus elementos. Considere
S=\{x-a,(x-a)^{2},\ldots,(x-a)^{n}\}.
Esse conjunto tem exatamente n elementos. Para provar que S é uma base de W basta mostrar que S\subseteq W e que gera W (ou alternativamente mostrar que é linearmente independente em W); como \dim(W)=n e |S|=n, qualquer das duas propriedades (gerar ou ser LI) mais a inclusão em W já garante que S é base.

Passo 6

Verifico que cada elemento de S pertence a W. Para todo k=1,\ldots,n,
(x-a)^{k}\big|_{x=a}= (a-a)^{k}=0,
logo (x-a)^{k}\in W. Assim S\subseteq W.

Passo 7

Mostro que S gera W. Pegue um polinômio arbitrário p\in W. Então p(a)=0. Aplico a divisão de polinômios (ou o lema conhecido como teorema do resto/fator): dados p(x) e o divisor x-a, existem q(x) e r\in\mathbb{R} com \deg r<1 tal que
p(x)=(x-a)q(x)+r.
Avaliando em x=a obtemos p(a)=r. Como p(a)=0, segue r=0. Portanto
p(x)=(x-a)q(x).
Além disso \deg q\le n-1, isto é q\in\mathcal{P}_{n-1}(\mathbb{R}).
Agora uso uma ideia simples e intuitiva: faça a mudança de variável y=x-a. Quando visto como polinômio em y, o espaço \mathcal{P}_{n-1}(\mathbb{R}) tem base \{1,y,y^{2},\ldots,y^{n-1}\}. Substituindo y=x-a obtemos que \{1,(x-a),(x-a)^{2},\ldots,(x-a)^{n-1}\} é uma base de \mathcal{P}_{n-1}(\mathbb{R}). Então existe escalares c_{0},c_{1},\ldots,c_{n-1}\in\mathbb{R} tais que
q(x)=c_{0} + c_{1}(x-a) + c_{2}(x-a)^{2} + \cdots + c_{n-1}(x-a)^{n-1}.
Multiplicando por (x-a) obtemos
p(x)=(x-a)q(x)=c_{0}(x-a) + c_{1}(x-a)^{2} + \cdots + c_{n-1}(x-a)^{n}.
Isso mostra que p é combinação linear de (x-a),(x-a)^{2},\ldots,(x-a)^{n}, isto é, p\in\operatorname{span}(S). Como p era arbitrário em W, segue W\subseteq\operatorname{span}(S). Juntando com S\subseteq W temos
\operatorname{span}(S)=W.

Passo 8

Concluo a base usando o argumento de dimensão. Já estabeleci:
  • S\subseteq W.
  • \operatorname{span}(S)=W, logo S gera W.
  • |S|=n e \dim(W)=n.
Se um conjunto de n vetores gera um espaço vetorial de dimensão n, então esse conjunto é uma base (porque gerar + ter o mesmo número de vetores que a dimensão implica linear independência). Portanto S é uma base de W.

Resposta

\{x-a,(x-a)^{2},\ldots,(x-a)^{n}\} é uma base de W.

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