Seja z=z(x, y) uma função diferenciável definida implicitamente pela equação
e^z=x y z+y
Sabendo que o ponto (x, y, z)=(0,1,0) verifica a equação (1) acima, calcule partial zpartial x(0,1) e partial zpartial y(0,1).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de uma função implícita z(x,y) definida por
e^z = x y z + y
No ponto (0,1,0). O conteúdo principal é diferenciação implícita e usaremos a fórmula
partial zpartial x = -FxFz, partial zpartial y = -FyFz
onde F(x,y,z)=0 é a equação implícita.

Passo 2

Definimos a função auxiliar
F(x,y,z) = e^z - x y z - y
Assim z(x,y) satisfaz F(x,y,z)=0. Vamos calcular as derivadas parciais de F:

Passo 3

As derivadas parciais gerais são
Fx = -y z, Fy = -x z - 1, Fz = e^z - x y
Agora avaliamos no ponto (x,y,z)=(0,1,0):

Passo 4

No ponto dado temos
Fx(0,1,0) = -1cdot0 = 0,
Fy(0,1,0) = -0cdot0 - 1 = -1,
Fz(0,1,0) = e^0 - 0cdot1 = 1

Passo 5

Aplicando as fórmulas de diferenciação implícita:
partial zpartial x(0,1) = -Fx(0,1,0)Fz(0,1,0) = -01 = 0,
partial zpartial y(0,1) = -Fy(0,1,0)Fz(0,1,0) = --11 = 1

Resposta

partial zpartial x(0,1)=0, partial zpartial y(0,1)=1.

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