Seja a um número real positivo, então:
|x| \leq a \Leftrightarrow-a \leq x \leq a

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a equivalência entre duas afirmações sobre um número real x, dado que a é um número real positivo. Mais precisamente:
  • Informação dada: a é um número real positivo (ou seja, a>0).
  • Pergunta: provar que
|x| \leq a \Leftrightarrow -a \leq x \leq a.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de valor absoluto e entendê-la bem, porque ela é a base da prova.
Definição de valor absoluto: para qualquer número real x\), \[|x|=\begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Explicação curta e intuitiva: |x|\] mede a distância de \(x até 0 na reta numérica; por isso é sempre não negativo. Se x já é não negativo, a distância é x mesmo; se x é negativo, a distância é -x, que é positivo.
Regra útil sobre desigualdades: ao multiplicar uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade troca. Por exemplo, se u\le v e \lambda<0, então \lambda u \ge \lambda v. Vamos usar isso quando for preciso.]

Passo 3

Provaremos a equivalência em duas direções. Primeiro mostramos que
|x| \le a \Rightarrow -a \le x \le a.
Assuma |x| \le a. Há dois casos, seguindo a definição do valor absoluto.
Caso 1: x\ge 0. Então, pela definição,
|x|=x.
Como |x|\le a, obtemos x\le a. Além disso, como a>0 e x\ge 0, temos -a\le 0 \le x, logo -a\le x. Combinando, obtemos
-a \le x \le a.
Caso 2: x<0. Pela definição,
|x|=-x.
Como |x|\le a, segue que -x \le a. Multiplicando ambos os lados por -1 (e trocando o sentido da desigualdade), obtemos
x \ge -a.
Além disso, como x<0 e a>0, temos x\le a. Portanto novamente
-a \le x \le a.
Como nos dois casos chegamos a -a\le x\le a, a implicação está provada.

Passo 4

Agora provamos a outra direção:
-a \le x \le a \Rightarrow |x| \le a.
Novamente, fazemos por casos segundo o sinal de x.
Caso 1: x\ge 0. Então |x|=x. Pelo pressuposto x\le a, logo
|x|=x \le a.
Caso 2: x<0. Do pressuposto -a \le x obtemos, multiplicando por -1 e trocando o sinal,
-a \le x \quad\Rightarrow\quad -x \le a.
Mas para x<0 temos |x|=-x, então |x|\le a.
Assim, em ambos os casos |x|\le a. Isso prova a implicação desejada.

Passo 5

Já provamos as duas implicações:
|x| \le a \Rightarrow -a \le x \le a \qquad\text{e}\qquad -a \le x \le a \Rightarrow |x| \le a.
Portanto as duas afirmações são equivalentes.
Como ilustração rápida e prática: se a=3, então |x|\le 3 significa que x está entre -3 e 3; por exemplo x=-2 satisfaz |-2|=2\le 3 e -3\le -2\le 3.

Resposta

|x| \leq a \Leftrightarrow -a \leq x \leq a.

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