Seja
um número real positivo, então:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a equivalência entre duas afirmações sobre um número real
, dado que
é um número real positivo. Mais precisamente:
- Informação dada:
é um número real positivo (ou seja, ). - Pergunta: provar que
Passo 2
Vamos lembrar a definição de valor absoluto e entendê-la bem, porque ela é a base da prova.
Definição de valor absoluto: para qualquer número real
Explicação curta e intuitiva:
até
na reta numérica; por isso é sempre não negativo. Se
já é não negativo, a distância é
mesmo; se
é negativo, a distância é
, que é positivo.
Regra útil sobre desigualdades: ao multiplicar uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade troca. Por exemplo, se
e
, então
. Vamos usar isso quando for preciso.]
Passo 3
Provaremos a equivalência em duas direções. Primeiro mostramos que
Assuma
. Há dois casos, seguindo a definição do valor absoluto.
Caso 1:
. Então, pela definição,
Como
, obtemos
. Além disso, como
e
, temos
, logo
. Combinando, obtemos
Caso 2:
. Pela definição,
Como
, segue que
. Multiplicando ambos os lados por
(e trocando o sentido da desigualdade), obtemos
Além disso, como
e
, temos
. Portanto novamente
Como nos dois casos chegamos a
, a implicação está provada.
Passo 4
Agora provamos a outra direção:
Novamente, fazemos por casos segundo o sinal de
.
Caso 1:
. Então
. Pelo pressuposto
, logo
Caso 2:
. Do pressuposto
obtemos, multiplicando por
e trocando o sinal,
Mas para
temos
, então
.
Assim, em ambos os casos
. Isso prova a implicação desejada.
Passo 5
Já provamos as duas implicações:
Portanto as duas afirmações são equivalentes.
Como ilustração rápida e prática: se
, então
significa que
está entre
e
; por exemplo
satisfaz
e
.