Seja Omega:=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2 <= 1 a bola unitária. Vamos considerar coordenadas polares x= r cos (theta) e y=r sen(theta). Vamos denotar por P(r, theta) o núcleo de Poisson no ponto r e theta, ou seja, temos
P(r, theta)=1-r^21+r^2-2 r cos (theta)
Seja u a solução do problema de Dirichlet:
l De<a u=0, em Omega u=f, em partial Omega
Logo, a fórmula de Poisson nos diz que
u(r, theta)=12 pi integral-pi^pi P(r, theta-phi) f(phi) d phi
Partindo destes fatos:
a) Mostre que o valor de u na origem (no ponto (x, y)=(0,0) ) é igual a 12 pi integral-pi^pi f(phi) d phi. (Isto nos diz que u na origem é igual a média de f no bordo)
b) Mostre que se f=1, então u=1 é a solução do problema. (Não precisa usar a fórmula de Poisson. Apenas verifique este fato)
c) Mostre que P(r, theta)>0 e que integral-pi^pi P(r, theta) d theta=2 pi para todo r<1. (Dica: para mostrar que a integral é igual a 2 pi use a fórmula de Poisson e as funções do item b))
d) Conclua que se f(theta) <= M, então u(r, theta) <= M para todo r<1 e theta. (Dica: Use a fórmula de Poisson e o item c))

Passo 1

O enunciado trata do problema de Dirichlet na bola unitária
Omega=(x,y)inR^2mid x^2+y^2<=1
com condição de contorno u|partialOmega=f. Usamos coordenadas polares
(x,y)=(rcostheta,rsentheta), o núcleo de Poisson
P(r,theta)=1-r^21+r^2-2rcostheta
e a fórmula de Poisson
u(r,theta)=12piintegral-pi^piPl(r,theta-phir),f(phi),dphi
O conteúdo envolve a propriedade média de funções harmônicas, o fato de que funções constantes são harmônicas, e a positividade e normalização do núcleo de Poisson, que levam ao princípio do máximo. Vamos provar (a)–(d).

Passo 2

(a) Avaliando em r=0 temos
;P(0,theta-phi)=1-01+0-0=1.
Substituindo na fórmula de Poisson e lembrando que o resultado não depende de theta, obtém-se
u(0,0) =12piintegral-pi^pi1cdot f(phi),dphi =12piintegral-pi^pif(phi),dphi

Passo 3

(b) Se f(phi)=1 para todo phi, então a função constante u(r,theta)equiv1 satisfaz De<a u=0 em Omega (pois De<a1=0) e em partialOmega temos u|partialOmega=1=f. Logo uequiv1 é solução do problema de Dirichlet.

Passo 4

(c) Primeiro, para r<1 e todo theta, o numerador 1-r^2>0 e o denominador
1+r^2-2rcostheta=(1-r)^2+2rl(1-costhetar)>0,
logo P(r,theta)>0.
Para mostrar integral-pi^piP(r,theta),dtheta=2pi, note que, no caso fequiv1, a fórmula de Poisson dá
1=u(r,theta) =12piintegral-pi^piPl(r,theta-phir),dphi
Fazendo a troca de variável psi=theta-phi vemos que
integral-pi^piP(r,psi),dpsi=2pi, independente de theta.

Passo 5

(d) Se f(phi)<= M em [-pi,pi], como P(r,theta-phi)>=0 e integral-pi^piP=2pi, temos
u(r,theta) =12piintegral-pi^piPl(r,theta-phir),f(phi),dphi <=12piintegral-pi^piPl(r,theta-phir),M,dphi =Mcdot12piintegral-pi^piP= M

Resposta

(a) u(0,0)=12piintegral-pi^pif(phi),dphi.
(b) uequiv1 é solução, pois De<a1=0 e u|partialOmega=1=f.
(c) P(r,theta)>0 e integral-pi^piP(r,theta),dtheta=2pi para todo r<1.
(d) Se f(theta)<= M, então u(r,theta)<= M para todo r<1 e theta.

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