Seja
a bola unitária. Vamos considerar coordenadas polares
e
. Vamos denotar por
o núcleo de Poisson no ponto
e
, ou seja, temos
Seja
a solução do problema de Dirichlet:
Logo, a fórmula de Poisson nos diz que
Partindo destes fatos:
a) Mostre que o valor de
na origem (no ponto
) é igual a
. (Isto nos diz que
na origem é igual a média de
no bordo)
b) Mostre que se
, então
é a solução do problema. (Não precisa usar a fórmula de Poisson. Apenas verifique este fato)
c) Mostre que
e que
para todo
. (Dica: para mostrar que a integral é igual a
use a fórmula de Poisson e as funções do item b))
d) Conclua que se
, então
para todo
e
. (Dica: Use a fórmula de Poisson e o item c))
a) Mostre que o valor de
b) Mostre que se
c) Mostre que
d) Conclua que se
Passo 1
O enunciado trata do problema de Dirichlet na bola unitária
com condição de contorno . Usamos coordenadas polares
, o núcleo de Poisson
com condição de contorno
e a fórmula de Poisson
O conteúdo envolve a propriedade média de funções harmônicas, o fato de que funções constantes são harmônicas, e a positividade e normalização do núcleo de Poisson, que levam ao princípio do máximo. Vamos provar (a)–(d).
Passo 2
(a) Avaliando em
temos
.
Substituindo na fórmula de Poisson e lembrando que o resultado não depende de , obtém-se
Substituindo na fórmula de Poisson e lembrando que o resultado não depende de
Passo 3
(b) Se
para todo
, então a função constante
satisfaz
em
(pois
) e em
temos
. Logo
é solução do problema de Dirichlet.
Passo 4
(c) Primeiro, para
e todo
, o numerador
e o denominador
logo
.
Para mostrar , note que, no caso
, a fórmula de Poisson dá
Para mostrar
Fazendo a troca de variável
vemos que
, independente de
.
Passo 5
(d) Se
em
, como
e
, temos
Resposta
(a)
.
(b)
é solução, pois
e
.
(c)
e
para todo
.
(d) Se
, então
para todo
e
.