Seja
um domínio onde vale o Teorema de Gauss e seja
, tal que
em
. Então valem as identidades de Green.
Sugestão: Para mostrar a primeira igualdade tome
Para mostrar a segunda igualdade basta tomar
a primeira.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas identidades de Green para uma função harmônica
em um domínio
onde vale o Teorema de Gauss (divergência). Vamos usar o fato de que, para duas funções suficientemente suaves
e
,
e depois aplicar o Teorema de Gauss:
Passo 2
Integramos a identidade da divergência sobre
. Pelo Teorema de Gauss,
Por outro lado,
Logo,
Passo 3
Reorganizando a igualdade do passo anterior, obtemos a forma geral da primeira identidade de Green:
Passo 4
Para a primeira identidade do enunciado, tomamos
. Como
em
, a última integral some, restando
Passo 5
Para a segunda identidade, tomamos
. Então
e
, e temos
Como
, a integral no interior é zero, logo