Verifique que y é uma solução da EDO. Determine a partir de y a solução particular que satisfaça à condição inicial.
\mathrm{y}^{\prime}=0,5 y, \quad y=c e^{0,5 \mathrm{x}}, \quad y(2)=2

Passo 1

O enunciado nos dá claramente:
  • A equação diferencial ordinária: \mathrm{y}' = 0,5\,y.
  • Uma família candidata de soluções: y = c\,e^{0,5 x}, onde c é uma constante arbitrária.
  • A condição inicial a satisfazer pela solução particular: y(2)=2.
O que o problema pede:
  1. Verificar que y=c\,e^{0,5 x} realmente satisfaz a equação diferencial indicada.
  2. A partir dessa família, determinar a solução particular que satisfaz y(2)=2.

Passo 2

Calcular a derivada de y=c\,e^{0,5 x} passo a passo.
Regra que vamos usar (cadeia): a derivada de e^{u(x)} é u'(x)\,e^{u(x)}. Aqui u(x)=0,5x, logo u'(x)=0,5.
Derivando:
\mathrm{y}' = \frac{d}{dx}\big(c\,e^{0,5 x}\big) = c\cdot\frac{d}{dx}\big(e^{0,5 x}\big) = c\cdot(0,5)\,e^{0,5 x}.
Portanto
\mathrm{y}' = 0,5\,\big(c\,e^{0,5 x}\big).

Passo 3

Comparar o lado direito da equação diferencial com a expressão obtida para \mathrm{y}'.
O lado direito da EDO é 0,5\,y. Substituindo y=c\,e^{0,5 x} obtemos
0,5\,y = 0,5\,\big(c\,e^{0,5 x}\big).
Da Passo 2 vimos que \mathrm{y}' = 0,5\,(c\,e^{0,5 x}). Assim,
\mathrm{y}' = 0,5\,y
é verdade para qualquer constante c. Conclusão: y=c\,e^{0,5 x} realmente é uma solução da EDO para todo c.

Passo 4

Breve comentário didático (como obter essa família se você precisasse: método rápido).
A EDO \mathrm{y}'=0,5\,y é separável. Escreve-se
\frac{dy}{dx}=0,5\,y\quad\Rightarrow\quad\frac{dy}{y}=0,5\,dx.
Integrando ambos os lados:
\int\frac{dy}{y}=\int 0,5\,dx \quad\Rightarrow\quad \ln|y|=0,5x+C,
onde C é constante de integração. Exponenciando,
|y|=e^{0,5x+C}=e^{C}e^{0,5x}.
Absorvendo o sinal e e^{C} numa constante c qualquer, obtém-se y=c\,e^{0,5x}. Isso confirma a forma da família de soluções que o enunciado deu.

Passo 5

Impor a condição inicial y(2)=2 para determinar c.
Substituindo x=2 na expressão geral:
y(2)=c\,e^{0,5\cdot 2}=c\,e^{1}=c\,e.
A condição diz que isso deve ser igual a 2, portanto
c\,e = 2 \quad\Rightarrow\quad c = 2\,e^{-1}=\frac{2}{e}.

Passo 6

Escrever a solução particular e verificar rapidamente que satisfaz a condição inicial.
Substituindo c=2\,e^{-1} em y=c\,e^{0,5x} obtemos
y(x)=2\,e^{-1}\,e^{0,5x}=2\,e^{0,5x-1}.
Uma forma mais compacta e às vezes mais útil é
y(x)=2\,e^{0,5(x-2)},
porque 0,5(x-2)=0,5x-1. Verificação da condição inicial:
y(2)=2\,e^{0,5(2-2)}=2\,e^{0}=2,
como exigido. E, claro, essa função ainda satisfaz \mathrm{y}'=0,5\,y pois pertence à família verificada anteriormente.

Resposta

y=c\,e^{0,5 x} é solução da EDO para todo c.
Solução particular que satisfaz y(2)=2: y(x)=2\,e^{0,5(x-2)}.

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