Verifique que
é uma solução da EDO. Determine a partir de
a solução particular que satisfaça à condição inicial.
Passo 1
O enunciado nos dá claramente:
- A equação diferencial ordinária:
. - Uma família candidata de soluções:
, onde é uma constante arbitrária. - A condição inicial a satisfazer pela solução particular:
.
O que o problema pede:
- Verificar que
realmente satisfaz a equação diferencial indicada. - A partir dessa família, determinar a solução particular que satisfaz
.
Passo 2
Calcular a derivada de
passo a passo.
Regra que vamos usar (cadeia): a derivada de
é
. Aqui
, logo
.
Derivando:
Portanto
Passo 3
Comparar o lado direito da equação diferencial com a expressão obtida para
.
O lado direito da EDO é
. Substituindo
obtemos
Da Passo 2 vimos que
. Assim,
é verdade para qualquer constante
. Conclusão:
realmente é uma solução da EDO para todo
.
Passo 4
Breve comentário didático (como obter essa família se você precisasse: método rápido).
A EDO
é separável. Escreve-se
Integrando ambos os lados:
onde
é constante de integração. Exponenciando,
Absorvendo o sinal e
numa constante
qualquer, obtém-se
. Isso confirma a forma da família de soluções que o enunciado deu.
Passo 5
Impor a condição inicial
para determinar
.
Substituindo
na expressão geral:
A condição diz que isso deve ser igual a
, portanto
Passo 6
Escrever a solução particular e verificar rapidamente que satisfaz a condição inicial.
Substituindo
em
obtemos
Uma forma mais compacta e às vezes mais útil é
porque
. Verificação da condição inicial:
como exigido. E, claro, essa função ainda satisfaz
pois pertence à família verificada anteriormente.
Resposta
Solução particular que satisfaz