Seja (\Omega, \mathcal{F}, P) um espaço de probabilidade.
(a) Defina a probabilidade condicional P(A \mid B) do evento A dado o evento B, especificando a condição necessária para que ela seja bem definida.
(b) Enuncie e prove a Lei da Probabilidade Total. (Dica: Use uma partição B_{1}, \ldots, B_{n} de \Omega ).
(c) Usando a definição de probabilidade condicional e a Lei da Probabilidade Total, enuncie e prove o Teorema de Bayes.

Passo 1

O enunciado dá um espaço de probabilidade (\Omega,\mathcal{F},P) e pede três coisas claramente separadas:
(a) Definir a probabilidade condicional P(A\mid B) do evento A dado o evento B, especificando qual condição é necessária para que essa definição faça sentido.
(b) Enunciar e provar a Lei da Probabilidade Total usando uma partição B_{1},\ldots,B_{n} de \Omega.
(c) A partir da definição de probabilidade condicional e da Lei da Probabilidade Total, enunciar e provar o Teorema de Bayes.
Informações relevantes dadas:
  • Temos um espaço de probabilidade (\Omega,\mathcal{F},P).
  • Em (b) há uma partição finita B_{1},\ldots,B_{n} de \Omega (ou seja, os B_i são disjuntos dois a dois e \bigcup_{i=1}^{n}B_i=\Omega).
  • Queremos trabalhar com eventos A quaisquer (ou A com alguma relação aos B_i nas provas).
Observação: ainda não começamos a resolver nem provar nada — apenas identifiquei o que o problema pede e quais dados estão disponíveis.

Passo 2

(a) Definição e condição necessária — explicação didática e formal.
Definição formal:
A probabilidade condicional de um evento A dado um evento B é definida por
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Condição necessária para a definição ser bem definida:
Para que essa fórmula faça sentido devemos ter P(B)>0, porque não podemos dividir por zero. Assim, a definição é válida somente quando P(B)>0.
Explicação didática (intuição e propriedades básicas):
  • Intuição: imaginar que “estamos no mundo onde B ocorreu”. Então, entre os resultados que fazem B acontecer, queremos a fração que também faz A acontecer. O numerador P(A\cap B) é a probabilidade de ocorrerem ambos; o denominador P(B) é a probabilidade de ocorrer B. A razão é a probabilidade de A condicional a sabermos B.
  • Propriedades imediatas (quando P(B)>0):
    • Não negatividade: P(A\mid B)\ge 0 porque P(A\cap B)\ge 0.
    • Normalização: P(B\mid B)=\dfrac{P(B\cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(B)}{P(B)}=1.
    • Aditividade finita: se A_1 e A_2 são disjuntos, então P(A_1\cup A_2\mid B)=\frac{P((A_1\cup A_2)\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A_1\cap B)+P(A_2\cap B)}{P(B)}=P(A_1\mid B)+P(A_2\mid B).
    Essas duas propriedades (não negatividade e aditividade, junto com normalização) mostram que, fixado B com P(B)>0, a função A\mapsto P(A\mid B) é uma medida de probabilidade sobre os eventos restringidos ao subconjunto B (isto é, é uma probabilidade condicional).
  • Observação sobre P(B)=0: Se P(B)=0, a fórmula não é definida. No entanto, P(A\cap B) será também 0 para todo A se B tem probabilidade zero? Nem sempre: é possível que para certos eventos A ainda se tenha P(A\cap B)>0 teoricamente num espaço não trivial, mas em espaços de probabilidade usuais P(A\cap B)\le P(B)=0 então P(A\cap B)=0. Mesmo assim, por segurança e clareza, exigimos P(B)>0 para definir P(A\mid B).

Passo 3

(b) Enunciado da Lei da Probabilidade Total (forma com partição) — explicação do que significa cada símbolo.
Enunciado:
Se B_{1},\ldots,B_{n} é uma partição de \Omega tal que P(B_i)>0 para todo i, então para qualquer evento A vale
P(A)=\sum_{i=1}^{n} P(A\mid B_i)\,P(B_i).
Aqui:
  • \{B_i\}_{i=1}^{n} é uma família de eventos disjuntos dois a dois com \bigcup_{i=1}^{n}B_i=\Omega.
  • P(A\mid B_i)=\dfrac{P(A\cap B_i)}{P(B_i)} (definido porque assumimos P(B_i)>0).
  • O sumatório combina as contribuições de cada pedaço da partição.

Passo 4

(b) Prova da Lei da Probabilidade Total — passo a passo e didático.
  1. Identidade de conjuntos usando partição:
    Como \{B_i\} é partição e \bigcup_{i=1}^n B_i=\Omega, temos a identidade
A = A\cap \Omega = A\cap \Big(\bigcup_{i=1}^n B_i\Big) = \bigcup_{i=1}^n (A\cap B_i).
Além disso, os conjuntos (A\cap B_i) são disjuntos dois a dois, porque os B_i são disjuntos.
  1. Aplicar aditividade finita da probabilidade:
    Pela aditividade finita (ou contável, se a partição for contável), como os (A\cap B_i) são disjuntos,
P(A)=\sum_{i=1}^n P(A\cap B_i).
  1. Substituir cada termo por probabilidade condicional vezes P(B_i):
    Para cada i com P(B_i)>0, pela definição de probabilidade condicional,
P(A\cap B_i)=P(A\mid B_i)\,P(B_i).
Logo, substituindo na soma,
P(A)=\sum_{i=1}^n P(A\mid B_i)\,P(B_i).
Essa igualdade é exatamente a Lei da Probabilidade Total. Finalizamos a prova.
Comentário prático: Se algum B_i tem P(B_i)=0, a igualdade ainda vale interpretando P(A\cap B_i) diretamente (pois P(A\cap B_i)=0 nesse caso), mas então P(A\mid B_i) não está definido. Por isso, ao escrever a versão com P(A\mid B_i) é comum exigir P(B_i)>0 para todos i.

Passo 5

(c) Enunciado do Teorema de Bayes — interpretação.
Enunciado (fórmula de Bayes):
Se B_{1},\ldots,B_{n} é uma partição de \Omega com P(B_i)>0 para todo i e A é um evento com P(A)>0, então para cada j\in\{1,\dots,n\}
P(B_j\mid A)=\frac{P(A\mid B_j)\,P(B_j)}{\sum_{i=1}^n P(A\mid B_i)\,P(B_i)}.
Interpretação: é a fórmula que nos dá a probabilidade de um componente B_j da partição dado que observamos A. A razão atualiza a “crença” inicial P(B_j) (a priori) usando a verossimilhança P(A\mid B_j); o denominador normaliza essas contribuições de todos os possíveis B_i.

Passo 6

(c) Prova do Teorema de Bayes — passo a passo.
  1. Comece pela definição de probabilidade condicional:
P(B_j\mid A)=\frac{P(B_j\cap A)}{P(A)}.
  1. Reescrever o numerador usando comutatividade da interseção:
P(B_j\cap A)=P(A\cap B_j).
  1. Expressar P(A\cap B_j) em termos de probabilidade condicional de A dado B_j:
    Como P(B_j)>0,
P(A\cap B_j)=P(A\mid B_j)\,P(B_j).
  1. Substituir no passo 1:
P(B_j\mid A)=\frac{P(A\mid B_j)\,P(B_j)}{P(A)}.
  1. Usar a Lei da Probabilidade Total para escrever P(A) no denominador:
    Pela parte (b),
P(A)=\sum_{i=1}^n P(A\mid B_i)\,P(B_i).
  1. Juntando (4) e (5) obtemos a fórmula de Bayes:
P(B_j\mid A)=\frac{P(A\mid B_j)\,P(B_j)}{\sum_{i=1}^n P(A\mid B_i)\,P(B_i)}.
Comentários didáticos finais:
  • Bayes é apenas combinação da definição P(\cdot\mid\cdot) (no numerador) com a Lei da Probabilidade Total (no denominador). Não há magia técnica extra, apenas organização das identidades.
  • Em linguagem aplicada: P(B_j) é chamada de “prior” (crença antes de ver A), P(A\mid B_j) é a “verossimilhança” (quão provável é observar A se B_j é verdadeiro), e P(B_j\mid A) é a “posterior” (crença atualizada depois de observar A).
  • Exemplo numérico rápido (mental): se há duas causas B_1,B_2 com P(B_1)=0,3, P(B_2)=0,7, e P(A\mid B_1)=0,8, P(A\mid B_2)=0,2, então P(B_1\mid A)=\frac{0,8\cdot 0,3}{0,8\cdot 0,3 + 0,2\cdot 0,7}=\frac{0,24}{0,24+0,14}=\frac{0,24}{0,38}\approx 0,6316.Ou seja, ao observar A a probabilidade de B_1 aumenta de 0,3 para cerca de 0,6316.

Resposta

(a) P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}, definida somente se P(B)>0.
(b) Se B_{1},\ldots,B_{n} é uma partição de \Omega com P(B_i)>0 para todo i, então para qualquer evento A
P(A)=\sum_{i=1}^{n} P(A\mid B_i)\,P(B_i).
(c) Para a mesma partição e qualquer A com P(A)>0,
P(B_j\mid A)=\frac{P(A\mid B_j)\,P(B_j)}{\sum_{i=1}^{n} P(A\mid B_i)\,P(B_i)}.

Exercícios relacionados