Seja
um espaço de probabilidade.
(a) Defina a probabilidade condicional
do evento
dado o evento
, especificando a condição necessária para que ela seja bem definida.
(b) Enuncie e prove a Lei da Probabilidade Total. (Dica: Use uma partição
de
).
(c) Usando a definição de probabilidade condicional e a Lei da Probabilidade Total, enuncie e prove o Teorema de Bayes.
(a) Defina a probabilidade condicional
(b) Enuncie e prove a Lei da Probabilidade Total. (Dica: Use uma partição
(c) Usando a definição de probabilidade condicional e a Lei da Probabilidade Total, enuncie e prove o Teorema de Bayes.
Passo 1
O enunciado dá um espaço de probabilidade
e pede três coisas claramente separadas:
(a) Definir a probabilidade condicional do evento
dado o evento
, especificando qual condição é necessária para que essa definição faça sentido.
(b) Enunciar e provar a Lei da Probabilidade Total usando uma partição de
.
(c) A partir da definição de probabilidade condicional e da Lei da Probabilidade Total, enunciar e provar o Teorema de Bayes.
(a) Definir a probabilidade condicional
(b) Enunciar e provar a Lei da Probabilidade Total usando uma partição
(c) A partir da definição de probabilidade condicional e da Lei da Probabilidade Total, enunciar e provar o Teorema de Bayes.
Informações relevantes dadas:
- Temos um espaço de probabilidade
. - Em (b) há uma partição finita
de (ou seja, os são disjuntos dois a dois e ). - Queremos trabalhar com eventos
quaisquer (ou com alguma relação aos nas provas).
Observação: ainda não começamos a resolver nem provar nada — apenas identifiquei o que o problema pede e quais dados estão disponíveis.
Passo 2
(a) Definição e condição necessária — explicação didática e formal.
Definição formal:
A probabilidade condicional de um evento dado um evento
é definida por
A probabilidade condicional de um evento
Condição necessária para a definição ser bem definida:
Para que essa fórmula faça sentido devemos ter , porque não podemos dividir por zero. Assim, a definição é válida somente quando
.
Para que essa fórmula faça sentido devemos ter
Explicação didática (intuição e propriedades básicas):
- Intuição: imaginar que “estamos no mundo onde
ocorreu”. Então, entre os resultados que fazem acontecer, queremos a fração que também faz acontecer. O numerador é a probabilidade de ocorrerem ambos; o denominador é a probabilidade de ocorrer . A razão é a probabilidade de condicional a sabermos . - Propriedades imediatas (quando
): - Não negatividade:
porque . - Normalização:
. - Aditividade finita: se
e são disjuntos, então
com , a função é uma medida de probabilidade sobre os eventos restringidos ao subconjunto (isto é, é uma probabilidade condicional). - Não negatividade:
- Observação sobre
: Se , a fórmula não é definida. No entanto, será também para todo se tem probabilidade zero? Nem sempre: é possível que para certos eventos ainda se tenha teoricamente num espaço não trivial, mas em espaços de probabilidade usuais então . Mesmo assim, por segurança e clareza, exigimos para definir .
Passo 3
(b) Enunciado da Lei da Probabilidade Total (forma com partição) — explicação do que significa cada símbolo.
Enunciado:
Se é uma partição de
tal que
para todo
, então para qualquer evento
vale
Se
Aqui:
-
é uma família de eventos disjuntos dois a dois com . -
(definido porque assumimos ). - O sumatório combina as contribuições de cada pedaço da partição.
Passo 4
(b) Prova da Lei da Probabilidade Total — passo a passo e didático.
- Identidade de conjuntos usando partição:
Comoé partição e , temos a identidade
Além disso, os conjuntos
são disjuntos dois a dois, porque os
são disjuntos.
- Aplicar aditividade finita da probabilidade:
Pela aditividade finita (ou contável, se a partição for contável), como ossão disjuntos,
- Substituir cada termo por probabilidade condicional vezes
:
Para cadacom , pela definição de probabilidade condicional,
Logo, substituindo na soma,
Essa igualdade é exatamente a Lei da Probabilidade Total. Finalizamos a prova.
Comentário prático: Se algum
tem
, a igualdade ainda vale interpretando
diretamente (pois
nesse caso), mas então
não está definido. Por isso, ao escrever a versão com
é comum exigir
para todos
.
Passo 5
(c) Enunciado do Teorema de Bayes — interpretação.
Enunciado (fórmula de Bayes):
Se é uma partição de
com
para todo
e
é um evento com
, então para cada
Se
Interpretação: é a fórmula que nos dá a probabilidade de um componente
da partição dado que observamos
. A razão atualiza a “crença” inicial
(a priori) usando a verossimilhança
; o denominador normaliza essas contribuições de todos os possíveis
.
Passo 6
(c) Prova do Teorema de Bayes — passo a passo.
- Comece pela definição de probabilidade condicional:
- Reescrever o numerador usando comutatividade da interseção:
- Expressar
em termos de probabilidade condicional de dado :
Como,
- Substituir no passo 1:
- Usar a Lei da Probabilidade Total para escrever
no denominador:
Pela parte (b),
- Juntando (4) e (5) obtemos a fórmula de Bayes:
Comentários didáticos finais:
- Bayes é apenas combinação da definição
(no numerador) com a Lei da Probabilidade Total (no denominador). Não há magia técnica extra, apenas organização das identidades. - Em linguagem aplicada:
é chamada de “prior” (crença antes de ver ), é a “verossimilhança” (quão provável é observar se é verdadeiro), e é a “posterior” (crença atualizada depois de observar ). - Exemplo numérico rápido (mental): se há duas causas
com , , e , , então Ou seja, ao observar a probabilidade de aumenta de para cerca de .
Resposta
(a)
, definida somente se
.
(b) Se é uma partição de
com
para todo
, então para qualquer evento
(b) Se
(c) Para a mesma partição e qualquer
com
,