Prove que, se
então:
Passo 1
O enunciado dá uma sequência de eventos decrescente:
e pede para provar a igualdade
Informações relevantes que já temos do enunciado:
- Cada
é um evento (ou seja, um conjunto mensurável) e é uma medida de probabilidade, logo . - A sequência
é decrescente: para todo vale .
O que devemos provar: que a probabilidade da interseção infinita dosé o limite das probabilidades .
Passo 2
Construímos uma sequência auxiliar de conjuntos que será crescente — isso facilita aplicar um teorema de continuidade. Defina, para cada
,
Vou explicar por que isso é útil e o que significa cada notação:
é o conjunto dos pontos que estão em
mas não em
;
é o complementar de
. Como a sequência
é decrescente (cada
está contido em
), temos que os conjuntos
são crescentes. Vamos mostrar isso.
Passo 3
Mostro que
é uma sequência crescente, isto é,
para todo
. Tome
. Então
e
. Como
, se
então necessariamente
. Logo
e
, ou seja,
. Portanto
.
Passo 4
Agora relaciono a união dos
com a interseção dos
. Quero mostrar que
Prova em duas direções:
- Se
então existe tal que . Assim e . Logo . Portanto . - Se
então e . O fato de não pertencer à interseção significa que existe algum com . Assim , então .
Assim as duas direções provam a igualdade.
Passo 5
Usamos agora o teorema de continuidade de medidas por baixo (continuidade crescente): se
é uma sequência crescente de conjuntos (ou seja,
para todo
), então
Vou mostrar um argumento curto e didático para esse teorema (porque é essencial aqui). Defina conjuntos disjuntos
Esses
são disjuntos dois a dois e
. Pela aditividade contável da medida (propriedade básica de
),
Mas a soma parcial até
é exatamente
Portanto
é a
-ésima soma parcial da série
, e assim
Isso prova a continuidade por baixo.
Passo 6
Aplicando o resultado do passo anterior à sequência crescente
obtemos
Pelo passo 4 sabemos que
. Logo
Passo 7
Observe que, para cada
, os conjuntos
e
são disjuntos e sua união é
:
Pela aditividade da medida segue
Substituindo na igualdade do passo anterior,
O lado direito é
porque
é constante (e finito, já que
é medida de probabilidade). Portanto
Agora use a identidade
válida sempre que
(aqui
satisfaz
). Assim
Cancelando
em ambos os lados obtemos a igualdade desejada: