Prove que, se
A_{1} \supseteq A_{2} \supseteq A_{3} \supseteq \cdots,
então:
P\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} P\left(A_{n}\right) .

Passo 1

O enunciado dá uma sequência de eventos decrescente:
A_{1} \supseteq A_{2} \supseteq A_{3} \supseteq \cdots
e pede para provar a igualdade
P\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n}\right)=\lim_{n\to\infty} P\left(A_{n}\right).
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • Cada A_{n} é um evento (ou seja, um conjunto mensurável) e P é uma medida de probabilidade, logo 0\le P(\cdot)\le 1.
  • A sequência \{A_n\}_{n\ge1} é decrescente: para todo n vale A_{n+1}\subseteq A_n.
    O que devemos provar: que a probabilidade da interseção infinita dos A_n é o limite das probabilidades P(A_n).

Passo 2

Construímos uma sequência auxiliar de conjuntos que será crescente — isso facilita aplicar um teorema de continuidade. Defina, para cada n,
B_n := A_1 \setminus A_n = A_1\cap A_n^c.
Vou explicar por que isso é útil e o que significa cada notação: A_1\setminus A_n é o conjunto dos pontos que estão em A_1 mas não em A_n; A_n^c é o complementar de A_n. Como a sequência A_n é decrescente (cada A_{n+1} está contido em A_n), temos que os conjuntos B_n são crescentes. Vamos mostrar isso.

Passo 3

Mostro que B_n é uma sequência crescente, isto é, B_n\subseteq B_{n+1} para todo n. Tome x\in B_n. Então x\in A_1 e x\notin A_n. Como A_{n+1}\subseteq A_n, se x\notin A_n então necessariamente x\notin A_{n+1}. Logo x\in A_1 e x\notin A_{n+1}, ou seja, x\in B_{n+1}. Portanto B_n\subseteq B_{n+1}.

Passo 4

Agora relaciono a união dos B_n com a interseção dos A_n. Quero mostrar que
\bigcup_{n=1}^\infty B_n = A_1 \setminus \bigcap_{n=1}^\infty A_n.
Prova em duas direções:
  • Se x\in \bigcup_{n=1}^\infty B_n então existe n tal que x\in B_n. Assim x\in A_1 e x\notin A_n. Logo x\notin \bigcap_{n=1}^\infty A_n. Portanto x\in A_1\setminus\bigcap_{n=1}^\infty A_n.
  • Se x\in A_1\setminus\bigcap_{n=1}^\infty A_n então x\in A_1 e x\notin \bigcap_{n=1}^\infty A_n. O fato de não pertencer à interseção significa que existe algum n com x\notin A_n. Assim x\in A_1\setminus A_n=B_n, então x\in\bigcup_{n=1}^\infty B_n.
    Assim as duas direções provam a igualdade.

Passo 5

Usamos agora o teorema de continuidade de medidas por baixo (continuidade crescente): se \{C_n\} é uma sequência crescente de conjuntos (ou seja, C_n\subseteq C_{n+1} para todo n), então
P\Big(\bigcup_{n=1}^\infty C_n\Big)=\lim_{n\to\infty} P(C_n).
Vou mostrar um argumento curto e didático para esse teorema (porque é essencial aqui). Defina conjuntos disjuntos
D_1 := C_1,\qquad D_n := C_n\setminus C_{n-1}\quad\text{para }n\ge2.
Esses D_n são disjuntos dois a dois e \bigcup_{n=1}^\infty C_n = \bigcup_{n=1}^\infty D_n. Pela aditividade contável da medida (propriedade básica de P),
P\Big(\bigcup_{n=1}^\infty C_n\Big)=\sum_{k=1}^\infty P(D_k).
Mas a soma parcial até n é exatamente
\sum_{k=1}^n P(D_k)=P\Big(\bigcup_{k=1}^n D_k\Big)=P(C_n).
Portanto P(C_n) é a n-ésima soma parcial da série \sum_{k=1}^\infty P(D_k), e assim
\lim_{n\to\infty} P(C_n)=\sum_{k=1}^\infty P(D_k)=P\Big(\bigcup_{n=1}^\infty C_n\Big).
Isso prova a continuidade por baixo.

Passo 6

Aplicando o resultado do passo anterior à sequência crescente B_n obtemos
P\Big(\bigcup_{n=1}^\infty B_n\Big)=\lim_{n\to\infty} P(B_n).
Pelo passo 4 sabemos que \bigcup_{n=1}^\infty B_n = A_1\setminus\bigcap_{n=1}^\infty A_n. Logo
P\Big(A_1\setminus\bigcap_{n=1}^\infty A_n\Big)=\lim_{n\to\infty} P(B_n).

Passo 7

Observe que, para cada n, os conjuntos A_n e B_n são disjuntos e sua união é A_1:
A_1 = A_n \cup B_n,\qquad A_n\cap B_n=\varnothing.
Pela aditividade da medida segue
P(B_n)=P(A_1)-P(A_n).
Substituindo na igualdade do passo anterior,
P\Big(A_1\setminus\bigcap_{n=1}^\infty A_n\Big)=\lim_{n\to\infty}\bigl(P(A_1)-P(A_n)\bigr).
O lado direito é P(A_1)-\lim_{n\to\infty}P(A_n) porque P(A_1) é constante (e finito, já que P é medida de probabilidade). Portanto
P\Big(A_1\setminus\bigcap_{n=1}^\infty A_n\Big)=P(A_1)-\lim_{n\to\infty}P(A_n).
Agora use a identidade P(A_1\setminus E)=P(A_1)-P(E) válida sempre que E\subseteq A_1 (aqui E=\bigcap_{n=1}^\infty A_n satisfaz E\subseteq A_1). Assim
P(A_1)-P\Big(\bigcap_{n=1}^\infty A_n\Big)=P(A_1)-\lim_{n\to\infty}P(A_n).
Cancelando P(A_1) em ambos os lados obtemos a igualdade desejada:
P\Big(\bigcap_{n=1}^\infty A_n\Big)=\lim_{n\to\infty}P(A_n).

Resposta

P\Big(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n}\Big)=\lim_{n\to\infty} P\bigl(A_{n}\bigr).

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