Em uma universidade, 60 \% dos alunos de uma turma de Cálculo foram aprovados em Algebra Linear no semestre anterior, 65 \% foram aprovados em Geometria Analítica, e 50 \% foram aprovados em ambas as disciplinas.
(a) Qual é a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente ter sido aprovado em pelo menos uma das duas disciplinas?
(b) Qual é a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente não ter sido aprovado em nenhuma das duas disciplinas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações sobre uma turma:
\text{P(Alunos aprovados em Álgebra Linear)} = 60\%,Á
\text{P(Alunos aprovados em Geometria Analítica)} = 65\%,í
\text{P(Alunos aprovados em ambas as disciplinas)} = 50\%.
As perguntas são:
(a) Qual é a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente ter sido aprovado em pelo menos uma das duas disciplinas?
(b) Qual é a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente não ter sido aprovado em nenhuma das duas disciplinas?

Passo 2

Definimos eventos para ficar claro:
A = \{\text{o aluno foi aprovado em Álgebra Linear}\},Á
B = \{\text{o aluno foi aprovado em Geometria Analítica}\}.í
As probabilidades dadas são P(A)=60\%, P(B)=65\% e P(A\cap B)=50\%.
O objetivo do item (a) é calcular P(A\cup B) (probabilidade de ter sido aprovado em pelo menos uma).
O objetivo do item (b) é calcular P(\text{nenhuma}), que é a probabilidade de o aluno não estar em A nem em B.

Passo 3

Explicação do conceito necessário: regra da adição para duas eventos (fórmula da inclusão-exclusão).
Quando somamos P(A) e P(B) nós contamos duas vezes os alunos que estão em ambas as turmas (o conjunto A\cap B). Para corrigir isso, subtraímos P(A\cap B). Assim obtemos:
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Aqui cada termo significa:
  • P(A\cup B): probabilidade de o aluno ter sido aprovado em pelo menos uma das disciplinas;
  • P(A): probabilidade de aprovação em Álgebra Linear;
  • P(B): probabilidade de aprovação em Geometria Analítica;
  • P(A\cap B): probabilidade de aprovação em ambas (interseção).

Passo 4

Aplicando a fórmula com os valores fornecidos:
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=60\%+65\%-50\%.
Agora calculamos passo a passo:
60\%+65\%=125\%,
125\%-50\%=75\%.
Portanto P(A\cup B)=75\%.

Passo 5

Explicação sobre o complemento: a probabilidade de não ter sido aprovado em nenhuma das disciplinas é o complemento de ter sido aprovado em pelo menos uma. Em termos de probabilidade:
P(\text{nenhuma})=1-P(A\cup B).
Como trabalhamos em porcentagem, 1 equivale a 100\%. Então:
P(\text{nenhuma})=100\%-P(A\cup B)=100\%-75\%=25\%.

Passo 6

Verificação concreta com um exemplo simples: suponha uma turma de 100 alunos. Pelos dados:
  • 60 alunos foram aprovados em A,
  • 65 alunos foram aprovados em B,
  • 50 alunos foram aprovados em ambas.
    Então:
  • alunos só em A = 60-50=10,
  • alunos só em B = 65-50=15,
  • alunos em ambas = 50.
    Somando: 10+15+50=75 alunos aprovados em pelo menos uma disciplina, sobrando 100-75=25 que não foram aprovados em nenhuma. Isso confirma os resultados anteriores.

Passo 7

Dica rápida para a prova: desenhe um diagrama de Venn e anote as partes “só A”, “só B” e “ambas” — isso evita confusão com dupla contagem. Lembre-se da fórmula
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
e que “nenhuma” é simplesmente o complemento 100\%-P(A\cup B). Força — você consegue!

Resposta

(a) 75\%
(b) 25\%

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