Em uma universidade,
dos alunos de uma turma de Cálculo foram aprovados em Algebra Linear no semestre anterior,
foram aprovados em Geometria Analítica, e
foram aprovados em ambas as disciplinas.
(a) Qual é a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente ter sido aprovado em pelo menos uma das duas disciplinas?
(b) Qual é a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente não ter sido aprovado em nenhuma das duas disciplinas?
(a) Qual é a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente ter sido aprovado em pelo menos uma das duas disciplinas?
(b) Qual é a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente não ter sido aprovado em nenhuma das duas disciplinas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações sobre uma turma:
As perguntas são:
(a) Qual é a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente ter sido aprovado em pelo menos uma das duas disciplinas?
(b) Qual é a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente não ter sido aprovado em nenhuma das duas disciplinas?
(a) Qual é a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente ter sido aprovado em pelo menos uma das duas disciplinas?
(b) Qual é a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente não ter sido aprovado em nenhuma das duas disciplinas?
Passo 2
Definimos eventos para ficar claro:
As probabilidades dadas são
,
e
.
O objetivo do item (a) é calcular (probabilidade de ter sido aprovado em pelo menos uma).
O objetivo do item (b) é calcular , que é a probabilidade de o aluno não estar em
nem em
.
O objetivo do item (a) é calcular
O objetivo do item (b) é calcular
Passo 3
Explicação do conceito necessário: regra da adição para duas eventos (fórmula da inclusão-exclusão).
Quando somamos e
nós contamos duas vezes os alunos que estão em ambas as turmas (o conjunto
). Para corrigir isso, subtraímos
. Assim obtemos:
Quando somamos
Aqui cada termo significa:
-
: probabilidade de o aluno ter sido aprovado em pelo menos uma das disciplinas; -
: probabilidade de aprovação em Álgebra Linear; -
: probabilidade de aprovação em Geometria Analítica; -
: probabilidade de aprovação em ambas (interseção).
Passo 4
Aplicando a fórmula com os valores fornecidos:
Agora calculamos passo a passo:
Portanto
.
Passo 5
Explicação sobre o complemento: a probabilidade de não ter sido aprovado em nenhuma das disciplinas é o complemento de ter sido aprovado em pelo menos uma. Em termos de probabilidade:
Como trabalhamos em porcentagem,
equivale a
. Então:
Passo 6
Verificação concreta com um exemplo simples: suponha uma turma de
alunos. Pelos dados:
-
alunos foram aprovados em , -
alunos foram aprovados em , -
alunos foram aprovados em ambas.
Então: - alunos só em
= , - alunos só em
= , - alunos em ambas =
.
Somando:alunos aprovados em pelo menos uma disciplina, sobrando que não foram aprovados em nenhuma. Isso confirma os resultados anteriores.
Passo 7
Dica rápida para a prova: desenhe um diagrama de Venn e anote as partes “só A”, “só B” e “ambas” — isso evita confusão com dupla contagem. Lembre-se da fórmula
e que “nenhuma” é simplesmente o complemento
. Força — você consegue!
Resposta
(a)
(b)
(b)