Seja
um espaço de probabilidade.
(a) Enuncie os três Axiomas de Kolmogorov que definem a medida de probabilidade
.
(b) Usando apenas os axiomas, prove que se
, então
.
(c) Usando o resultado de b), prove que
.
(a) Enuncie os três Axiomas de Kolmogorov que definem a medida de probabilidade
(b) Usando apenas os axiomas, prove que se
(c) Usando o resultado de b), prove que
Passo 1
O enunciado dá um espaço de probabilidade
e faz três pedidos claros:
- (a) Enunciar os três Axiomas de Kolmogorov que definem a medida de probabilidade
. - (b) Usando apenas esses axiomas, provar que, para todo
, vale . - (c) Usando o resultado do item (b), provar que
.
Informações relevantes dadas no enunciado:
-
é o espaço amostral (conjunto de todos os resultados possíveis). -
é uma -álgebra sobre (coleção de subconjuntos de fechada por complemento e uniões contáveis). -
é uma função definida em com propriedades a serem enunciadas (os axiomas). - Os pedidos (b) e (c) pedem provas que devem usar apenas os axiomas enunciados em (a).
Passo 2
Enunciei o primeiro axioma e expliquei o que ele quer dizer de forma simples.
Axioma 1 (não negatividade): para todo temos
Axioma 1 (não negatividade): para todo
Explicação: isto significa que a medida
não atribui probabilidades negativas a nenhum evento. Aqui a variável
representa um evento (um subconjunto mensurável de
). Esse é um requisito intuitivo: probabilidade mede “quanto de chance” e não faz sentido ser negativo.
Passo 3
Enunciei o segundo axioma e expliquei o papel de
.
Axioma 2 (normalização):
Axioma 2 (normalização):
Explicação: o evento certo (ocorre sempre), que é o conjunto total
, tem probabilidade
. Essa é a escala natural das probabilidades: tudo junto vale 1.
Passo 4
Enunciei o terceiro axioma e expliquei os termos técnicos.
Axioma 3 (aditividade contável): se é uma sequência de eventos em
tais que
sempre que
(ou seja, os
são dois a dois disjuntos), então
Axioma 3 (aditividade contável): se
Explicação: isso diz que a probabilidade da união de eventos mutuamente excludentes é a soma das probabilidades. “Contável” significa que a família pode ser finita ou infinita numerável; o caso finito é um caso particular. A noção “dois a dois disjuntos” quer dizer exatamente que nenhuma interseção entre elementos diferentes da família contém elementos.
Passo 5
Mostrei propriedades elementares dos complementos que usarei na prova do item (b).
Definição e fatos sobre complemento: para o complemento
é
. Então valem as identidades elementares (essas são propriedades de conjuntos, independentes dos axiomas):
Definição e fatos sobre complemento: para
e
Explicação: por construção, nenhum elemento pode estar simultaneamente em
e em
, e juntando-os obtemos todo o espaço
.
Passo 6
Usei o Axioma 3 (aditividade contável) aplicado à união
, explicando cada passo.
Como e
são disjuntos (veja passo anterior), podemos aplicar o Axioma 3 à família com apenas esses dois conjuntos (caso finito, que é permitido como caso particular de família contável). Assim:
Como
Explicação didática: o Axioma 3 garante que para qualquer família contável de conjuntos disjuntos a probabilidade da união é a soma das probabilidades. Tomando a família
(ou, mais formalmente, uma sequência nos índices
com apenas os dois primeiros termos não vazios), a soma à direita reduz-se justamente a
.
Passo 7
Combinei o resultado do passo anterior com o Axioma 2 para obter a igualdade pedida no item (b).
Sabemos pelo Passo 5 que . Então, usando o resultado do Passo 6 e o Axioma 2 (
), obtemos:
Sabemos pelo Passo 5 que
Isolando
chega-se a
Comentário amigo: essa é uma identidade muito útil — ela diz que a probabilidade de “não A” é simplesmente o complemento de
em relação a 1. É direto, mas é bom ver que só usamos os axiomas.
Passo 8
Usei o resultado do item (b) para provar
(item (c)).
Escolho na fórmula do Passo 7. O complemento de
é
, pois
. Aplicando
obtemos:
Escolho
Como pelo Axioma 2 temos
, segue
Explicação: a probabilidade do conjunto vazio deve ser zero — faz sentido: evento impossível tem probabilidade zero, e derivamos isso diretamente dos axiomas.
Resposta
(a) Axiomas de Kolmogorov:
(b)
(c)
(b)
(c)