Seja (\Omega, \mathcal{F}, P) um espaço de probabilidade.
(a) Enuncie os três Axiomas de Kolmogorov que definem a medida de probabilidade P.
(b) Usando apenas os axiomas, prove que se A \in \mathcal{F}, então P\left(A^{c}\right)=1-P(A).
(c) Usando o resultado de b), prove que P(\emptyset)=0.

Passo 1

O enunciado dá um espaço de probabilidade (\Omega,\mathcal{F},P) e faz três pedidos claros:
  1. (a) Enunciar os três Axiomas de Kolmogorov que definem a medida de probabilidade P.
  2. (b) Usando apenas esses axiomas, provar que, para todo A\in\mathcal{F}, vale \,P\!\left(A^{c}\right)=1-P(A).
  3. (c) Usando o resultado do item (b), provar que P(\emptyset)=0.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • \Omega é o espaço amostral (conjunto de todos os resultados possíveis).
  • \mathcal{F} é uma \sigma-álgebra sobre \Omega (coleção de subconjuntos de \Omega fechada por complemento e uniões contáveis).
  • P é uma função definida em \mathcal{F} com propriedades a serem enunciadas (os axiomas).
  • Os pedidos (b) e (c) pedem provas que devem usar apenas os axiomas enunciados em (a).

Passo 2

Enunciei o primeiro axioma e expliquei o que ele quer dizer de forma simples.
Axioma 1 (não negatividade): para todo A\in\mathcal{F} temos
P(A)\ge 0.
Explicação: isto significa que a medida P não atribui probabilidades negativas a nenhum evento. Aqui a variável A representa um evento (um subconjunto mensurável de \Omega). Esse é um requisito intuitivo: probabilidade mede “quanto de chance” e não faz sentido ser negativo.

Passo 3

Enunciei o segundo axioma e expliquei o papel de \Omega.
Axioma 2 (normalização):
P(\Omega)=1.
Explicação: o evento certo (ocorre sempre), que é o conjunto total \Omega, tem probabilidade 1. Essa é a escala natural das probabilidades: tudo junto vale 1.

Passo 4

Enunciei o terceiro axioma e expliquei os termos técnicos.
Axioma 3 (aditividade contável): se (A_i)_{i=1}^{\infty} é uma sequência de eventos em \mathcal{F} tais que A_i\cap A_j=\emptyset sempre que i\neq j (ou seja, os A_i são dois a dois disjuntos), então
P\!\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right)=\sum_{i=1}^{\infty} P(A_i).
Explicação: isso diz que a probabilidade da união de eventos mutuamente excludentes é a soma das probabilidades. “Contável” significa que a família pode ser finita ou infinita numerável; o caso finito é um caso particular. A noção “dois a dois disjuntos” quer dizer exatamente que nenhuma interseção entre elementos diferentes da família contém elementos.

Passo 5

Mostrei propriedades elementares dos complementos que usarei na prova do item (b).
Definição e fatos sobre complemento: para A\in\mathcal{F} o complemento A^{c} é \Omega\setminus A. Então valem as identidades elementares (essas são propriedades de conjuntos, independentes dos axiomas):
A\cap A^{c}=\emptyset
e
A\cup A^{c}=\Omega.
Explicação: por construção, nenhum elemento pode estar simultaneamente em A e em A^{c}, e juntando-os obtemos todo o espaço \Omega.

Passo 6

Usei o Axioma 3 (aditividade contável) aplicado à união A\cup A^{c}, explicando cada passo.
Como A e A^{c} são disjuntos (veja passo anterior), podemos aplicar o Axioma 3 à família com apenas esses dois conjuntos (caso finito, que é permitido como caso particular de família contável). Assim:
P\!\left(A\cup A^{c}\right)=P(A)+P\!\left(A^{c}\right).
Explicação didática: o Axioma 3 garante que para qualquer família contável de conjuntos disjuntos a probabilidade da união é a soma das probabilidades. Tomando a família (A,A^{c}) (ou, mais formalmente, uma sequência nos índices 1,2,\dots com apenas os dois primeiros termos não vazios), a soma à direita reduz-se justamente a P(A)+P(A^{c}).

Passo 7

Combinei o resultado do passo anterior com o Axioma 2 para obter a igualdade pedida no item (b).
Sabemos pelo Passo 5 que A\cup A^{c}=\Omega. Então, usando o resultado do Passo 6 e o Axioma 2 ( P(\Omega)=1), obtemos:
1=P(\Omega)=P\!\left(A\cup A^{c}\right)=P(A)+P\!\left(A^{c}\right).
Isolando P(A^{c}) chega-se a
P\!\left(A^{c}\right)=1-P(A).
Comentário amigo: essa é uma identidade muito útil — ela diz que a probabilidade de “não A” é simplesmente o complemento de P(A) em relação a 1. É direto, mas é bom ver que só usamos os axiomas.

Passo 8

Usei o resultado do item (b) para provar P(\emptyset)=0 (item (c)).
Escolho A=\Omega na fórmula do Passo 7. O complemento de \Omega é \emptyset, pois \Omega^{c}=\emptyset. Aplicando P(\Omega^{c})=1-P(\Omega) obtemos:
P(\emptyset)=1-P(\Omega).
Como pelo Axioma 2 temos P(\Omega)=1, segue
P(\emptyset)=1-1=0.
Explicação: a probabilidade do conjunto vazio deve ser zero — faz sentido: evento impossível tem probabilidade zero, e derivamos isso diretamente dos axiomas.

Resposta

(a) Axiomas de Kolmogorov: \text{(1) Para todo }A\in\mathcal{F},\;P(A)\ge 0. \text{ (2) }P(\Omega)=1. \text{ (3) Se }(A_i)_{i=1}^{\infty}\subset\mathcal{F}\text{ são dois a dois disjuntos, então }P\!\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i).ãã
(b) P\!\left(A^{c}\right)=1-P(A).
(c) P(\emptyset)=0.

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