Verifique se as EDOs de
ordem abaixo são exatas. Caso não sejam, encontre o fator integrante para torná-las exatas e resolva-as.
Passo 1
O enunciado dá a EDO de primeira ordem
e pede para verificar se é exata. Se não for, a gente vai encontrar um fator integrante e, então, resolver de fato. O conteúdo é equações diferenciais exatas e fator integrante dependente de
ou
.
Passo 2
Vamos identificar as funções
e
:
Para testar a exatidão, calculamos:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante que dependa só de
ou só de
. Calculamos:
que é função apenas de
Passo 4
Multiplicamos a EDO original por
, obtendo:
$$N^*(x,y) = -2e^{3x}.
logo
é exata.
Passo 5
Para resolver, achamos uma função potencial
tal que:
$$\frac{\partial\phi}{\partial x} = M^*(x,y) = 10e^{3x} - 6ye^{3x} + 1.
onde
é função a determinar. Em seguida usamos
o que implica
Passo 6
A solução geral implícita da EDO integrada pelo fator integrante é dada por:
$$\frac{10}{3}e^{3x} - 2y e^{3x} + x = C,
$$
onde é a constante de integração.
onde