Verifique se as EDOs de 1^0 ordem abaixo são exatas. Caso não sejam, encontre o fator integrante para torná-las exatas e resolva-as.
(10-6 y+e^-3 x) d x-2 d y=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem (10 - 6y + e^-3x),dx - 2,dy = 0 e pede para verificar se é exata. Se não for, a gente vai encontrar um fator integrante e, então, resolver de fato. O conteúdo é equações diferenciais exatas e fator integrante dependente de x ou y.

Passo 2

Vamos identificar as funções M(x,y) e N(x,y):
M(x,y) = 10 - 6y + e^-3x, N(x,y) = -2
Para testar a exatidão, calculamos:
partial Mpartial y = -6, partial Npartial x = 0
Como partial M/partial y neq partial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante que dependa só de x ou só de y. Calculamos:
partial M/partial y - partial N/partial xN = -6 - 0-2 = 3,
que é função apenas de x (na verdade uma constante). Logo o fator integrante é
mu(x) = e^integral 3,dx = e^3x

Passo 4

Multiplicamos a EDO original por mu(x)=e^3x, obtendo:
M^*(x,y) = (10 - 6y + e^-3x)e^3x = 10e^3x - 6ye^3x + 1,
$$N^*(x,y) = -2e^{3x}.
N^*(x,y) = -2e^3x ã\frac{\partial M^}{\partial y} = -6e^{3x}, \quad \frac{\partial N^}{\partial x} = -2\cdot3e^{3x} = -6e^{3x},$$
logo partial M^*partial y = -6e^3x, partial N^*partial x = -2cdot3e^3x = -6e^3x, é exata.

Passo 5

Para resolver, achamos uma função potencial phi(x,y) tal que:
$$\frac{\partial\phi}{\partial x} = M^*(x,y) = 10e^{3x} - 6ye^{3x} + 1.
partialphipartial x = M^*(x,y) = 10e^3x - 6ye^3x + 1 \phi(x,y) = \int \bigl(10e^{3x} - 6ye^{3x} + 1\bigr)dx = \frac{10}{3}e^{3x} - 2ye^{3x} + x + h(y),$$
onde x é função a determinar. Em seguida usamos
phi(x,y) = integral l(10e^3x - 6ye^3x + 1r)dx = 103e^3x - 2ye^3x + x + h(y),
o que implica h(y) e, portanto, partialphipartial y = -2e^3x + h'(y) = N^*(x,y) = -2e^3x, constante.

Passo 6

A solução geral implícita da EDO integrada pelo fator integrante é dada por:
$$\frac{10}{3}e^{3x} - 2y e^{3x} + x = C,
$$
onde 103e^3x - 2y e^3x + x = C, é a constante de integração.

Resposta

103e^3x - 2y e^3x + x = C

Exercícios relacionados