Seja um domínio tal que . Se f: Omega C é uma função holomorfa com |f(z)| <= 1 para z in B(0,1), então |f^prime(0)| <= 1.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma função holomorfa $ f $ definida num domínio $ \Omega $ que contém o círculo fechado de raio 1 ao redor da origem, ou seja, $ \overline{B(0,1)} = {z \in \mathbb{C} : |z| \leq 1} \subset \Omega $. A função $ f $ satisfaz $ |f(z)| \leq 1 $ dentro desse círculo fechado. A gente precisa mostrar que o valor absoluto da derivada de $ f $ em 0, que é $ |f’(0)| $, é no máximo 1. Para resolver isso, vamos usar o que aprendemos sobre a Lema de Schwarz, que é uma ferramenta poderosa em análise complexa para funções que são limitadas em magnitude dentro do disco unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função holomorfa. Uma função $ f: \Omega \rightarrow \mathbb{C} $ é holomorfa se ela é diferenciável em todo ponto de $ \Omega $. Isso é importante porque a Lema de Schwarz se aplica exatamente a essas funções que são bem comportadas dentro do domínio.
Passo 3
Agora, o enunciado nos diz que $ |f(z)| \leq 1 $ para todo $ z $ no círculo fechado $ \overline{B(0,1)} $. Isso quer dizer que a função não sai do disco unitário nesse domínio. A Lema de Schwarz lida exatamente com esse tipo de situação, onde a função está limitada em magnitude dentro do disco.
Passo 4
A Lema de Schwarz afirma que se temos uma função holomorfa $ f $ que mapeia o disco unitário em si mesmo e satisfaz $ f(0) = 0 $, então $ |f(z)| \leq |z| $ para todo $ z $ no disco, e $ |f’(0)| \leq 1 $. No nosso caso, não sabemos se $ f(0) = 0 $, então precisamos ajustar a função para aplicar a Lema de Schwarz.
Passo 5
Para ajustar, definimos uma nova função $ g(z) = \frac{f(z) - f(0)}{1 - \overline{f(0)}f(z)} $. Essa transformação é chamada de transformação de Möbius e é usada para “anular” o valor de $ f $ em 0, ou seja, $ g(0) = 0 $. Além disso, $ g $ também é uma função holomorfa que mapeia o disco unitário em si mesmo e satisfaz $ |g(z)| \leq 1 $.
Passo 6
Aplicando a Lema de Schwarz à função $ g $, temos que $ |g’(0)| \leq 1 $. Vamos calcular $ g’(0) $:
g
Então, $ |f’(0)| = |g’(0)| \leq 1 $.
Resposta
Portanto, concluímos que $ \left|f^{\prime}(0)\right| \leq 1 $.