Coloca-se água no interior de um tanque cônico de altura
e raio da base
. Quando o nível da água é de 2 m , a água está sendo lançada no tanque a razão de
. Determine para este instante, a velocidade de subida do nível da água.
Passo 1
O enunciado descreve um tanque cônico de altura
m e raio da base
m que está sendo abastecido com água à taxa
/min. Quando o nível da água atinge
m, precisamos encontrar a velocidade
de subida desse nível. Para isso vamos usar semelhança de triângulos e derivação implícita da relação entre o volume
e a altura
.
Passo 2
Pela semelhança de triângulos entre o triângulo maior (raio
, altura
) e o menor formado pela água (raio
, altura
) temos
logo
Passo 3
O volume de um cone de raio
e altura
é
Substituindo
resulta
Passo 4
Derivando ambos os lados em relação ao tempo
:
Passo 5
Isolando
:
Passo 6
No instante em que
m e
/min,
Resposta
ou seja, o nível da água sobe a aproximadamente
m/min.