Coloca-se água no interior de um tanque cônico de altura h=3 m e raio da base r=1 m. Quando o nível da água é de 2 m , a água está sendo lançada no tanque a razão de 0,05 m^3 / min. Determine para este instante, a velocidade de subida do nível da água.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque cônico de altura h=3 m e raio da base r=1 m que está sendo abastecido com água à taxa dVdt=0,05 m^3/min. Quando o nível da água atinge y=2 m, precisamos encontrar a velocidade dydt de subida desse nível. Para isso vamos usar semelhança de triângulos e derivação implícita da relação entre o volume V e a altura y.

Passo 2

Pela semelhança de triângulos entre o triângulo maior (raio r, altura h) e o menor formado pela água (raio x, altura y) temos
xy=rh=13,
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x=13,y

Passo 3

O volume de um cone de raio x e altura y é
V=13pi x^2y
Substituindo x=tfrac13y resulta
V=13pil(y3r)^2y =pi,y^327

Passo 4

Derivando ambos os lados em relação ao tempo t:
dVdt =ddtl(pi,y^327r) =pi27cdot 3y^2dydt =pi,y^29dydt

Passo 5

Isolando dydt:
dydt =9pi,y^2,dVdt

Passo 6

No instante em que y=2 m e dVdt=0,05 m^3/min,
dydt =9picdot(2)^2times 0,05 =9cdot0,054pi =0,454pi =0,1125pi approx0,0358 m/min

Resposta

dydtapprox0,0358 m/min,
ou seja, o nível da água sobe a aproximadamente 0,036 m/min.

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