Seja
onde
e
são números reais. Suponha que
se anule ao longo de qualquer caminho fechado simples
.
Calcule o valor de
.
Calcule o valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
, onde
e
e
são números reais. A questão diz que a integral dessa função ao longo de qualquer caminho fechado simples
é igual a zero. Nosso objetivo é descobrir o valor de
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de funções analíticas e as Equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais em análise complexa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se a integral de uma função complexa
ao longo de qualquer caminho fechado é zero, então
é uma função analítica (ou holomorfa) em todo o domínio considerado. Isso significa que ela satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann.
Passo 3
As Equações de Cauchy-Riemann dizem que, para uma função
ser analítica, as derivadas parciais de
e
devem satisfazer:
No nosso caso, temos:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Primeira equação:
Então, de acordo com a primeira equação de Cauchy-Riemann:
Passo 5
Agora a segunda equação:
De acordo com a segunda equação de Cauchy-Riemann:
que simplifica para:
Passo 6
Agora, temos duas equações:
Para que essas igualdades sejam verdadeiras para todo
e
, precisamos que:
Resposta
O valor de
é
.