Seja
f(z)=(x^2-y^2)+i(alpha x y+beta), z=x+i y
onde alpha e beta são números reais. Suponha que integralC f(z) d z se anule ao longo de qualquer caminho fechado simples C.
Calcule o valor de alpha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função f(z) = (x^2 - y^2) + i(alpha x y + beta) , onde z = x + iy e alpha e beta são números reais. A questão diz que a integral dessa função ao longo de qualquer caminho fechado simples C é igual a zero. Nosso objetivo é descobrir o valor de alpha . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de funções analíticas e as Equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais em análise complexa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se a integral de uma função complexa f(z) ao longo de qualquer caminho fechado é zero, então f(z) é uma função analítica (ou holomorfa) em todo o domínio considerado. Isso significa que ela satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann.

Passo 3

As Equações de Cauchy-Riemann dizem que, para uma função f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ser analítica, as derivadas parciais de u e v devem satisfazer:
partial upartial x = partial vpartial y e partial upartial y = -partial vpartial x
No nosso caso, temos:
u(x, y) = x^2 - y^2 e v(x, y) = alpha x y + beta

Passo 4

Vamos calcular as derivadas necessárias:
Primeira equação:
partial upartial x = 2x e partial vpartial y = alpha x
Então, de acordo com a primeira equação de Cauchy-Riemann:
2x = alpha x

Passo 5

Agora a segunda equação:
partial upartial y = -2y e partial vpartial x = alpha y
De acordo com a segunda equação de Cauchy-Riemann:
-2y = -alpha y
que simplifica para:
2y = alpha y

Passo 6

Agora, temos duas equações:
  1. 2x = alpha x
  2. 2y = alpha y
Para que essas igualdades sejam verdadeiras para todo x e y , precisamos que:
alpha = 2

Resposta

O valor de alpha é 2 .

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