Seja
um caminho fechado simples inteiramente contido no exterior do círculo de raio 2 centrado na origem. Supondo
orientado positivamente, calcule
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um caminho fechado, chamado
, que está todo fora de um círculo de raio 2 centrado na origem. A orientação de
é positiva, ou seja, no sentido anti-horário. Precisamos calcular a integral
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Complexo, especificamente o Teorema de Cauchy e a Fórmula de Cauchy para Derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que estamos integrando. A função é
Aqui,
é uma função inteira (ou seja, analítica em todo o plano complexo) e
tem uma singularidade de ordem 4 no ponto
.
Passo 3
Agora, precisamos ver se essa singularidade
está dentro do caminho
. Como
está todo fora do círculo de raio 2, e
que é menor que 2, isso significa que
está dentro do círculo de raio 2, mas como
está fora desse círculo,
está fora de
.
Passo 4
De acordo com o Teorema de Cauchy, se uma função é analítica em toda a região dentro de
e sobre
, então a integral ao longo de
é zero. Como a única singularidade da nossa função está fora de
, a função
é analítica dentro de
.
Passo 5
Portanto, pela aplicação do Teorema de Cauchy, a integral
Resposta
A integral vale zero, ou seja: