Seja C um caminho fechado simples inteiramente contido no exterior do círculo de raio 2 centrado na origem. Supondo C orientado positivamente, calcule
6pi^3 integralC sen(pi z)(z-1)^4 d z

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um caminho fechado, chamado C , que está todo fora de um círculo de raio 2 centrado na origem. A orientação de C é positiva, ou seja, no sentido anti-horário. Precisamos calcular a integral
6pi^3 integralC sin(pi z)(z-1)^4 , dz
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Complexo, especificamente o Teorema de Cauchy e a Fórmula de Cauchy para Derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que estamos integrando. A função é
f(z) = sin(pi z)(z-1)^4
Aqui, sin(pi z) é uma função inteira (ou seja, analítica em todo o plano complexo) e (z-1)^4 tem uma singularidade de ordem 4 no ponto z = 1 .

Passo 3

Agora, precisamos ver se essa singularidade z = 1 está dentro do caminho C . Como C está todo fora do círculo de raio 2, e |1| = 1 que é menor que 2, isso significa que z = 1 está dentro do círculo de raio 2, mas como C está fora desse círculo, z = 1 está fora de C .

Passo 4

De acordo com o Teorema de Cauchy, se uma função é analítica em toda a região dentro de C e sobre C , então a integral ao longo de C é zero. Como a única singularidade da nossa função está fora de C , a função f(z) é analítica dentro de C .

Passo 5

Portanto, pela aplicação do Teorema de Cauchy, a integral
integralC sin(pi z)(z-1)^4 , dz = 0

Resposta

A integral vale zero, ou seja:
6pi^3 integralC sin(pi z)(z-1)^4 , dz = 0

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