Seja . Calcule onde é a porção do paraboloide com , orientada para cima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para calcular a integral de superfície , onde . A superfície é a parte do paraboloide com , orientada para cima. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a Integral de Superfície e o Teorema da Divergência, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa integrar sobre uma superfície orientada para cima. A orientação para cima indica que o vetor normal à superfície está apontando na direção positiva de . Para facilitar os cálculos, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial à integral de volume da divergência desse campo.
Passo 3
O Teorema da Divergência é dado por:
onde é o volume delimitado pela superfície . Então, nosso primeiro passo é calcular a divergência de .
Passo 4
Vamos calcular a divergência :
Calculando cada termo:
Então,
Passo 5
Agora, precisamos integrar essa divergência sobre o volume que está abaixo do paraboloide e acima do plano . Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, já que a região é circular.
As coordenadas polares são:
O limite para será de 0 a 2 (pois quando , ), e de 0 a .
Passo 6
Expressando a função em coordenadas polares:
Agora, a integral de volume em coordenadas polares fica:
Passo 7
Vamos analisar os termos da integral:
O primeiro termo envolve . Devido à presença de , ao integrar sobre de 0 a , esse termo se anula porque é uma função ímpar no intervalo simétrico.
O segundo termo é , que será integrado normalmente.
O terceiro termo é , e ao integrar sobre , utilizamos a identidade .