Seja F(x, y, z)=(ln (z+1)2+cos (y) x^2, y z, z y^2). Calcule integralegral duplaS F d S onde S é a porção do paraboloide z=4-x^2-y^2 com z >= 0, orientada para cima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot dS, onde F(x, y, z) = (ln(z+1)2+cos(y) x^2, y z, z y^2). A superfície S é a parte do paraboloide z = 4 - x^2 - y^2 com z >= 0, orientada para cima. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a Integral de Superfície e o Teorema da Divergência, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa integrar sobre uma superfície orientada para cima. A orientação para cima indica que o vetor normal à superfície está apontando na direção positiva de z. Para facilitar os cálculos, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial à integral de volume da divergência desse campo.

Passo 3

O Teorema da Divergência é dado por:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F dV
onde V é o volume delimitado pela superfície S. Então, nosso primeiro passo é calcular a divergência de F.

Passo 4

Vamos calcular a divergência nabla cdot F:
nabla cdot F = partialpartial x(ln(z+1)2+cos(y) x^2) + partialpartial y(y z) + partialpartial z(z y^2)
Calculando cada termo:
partialpartial x(ln(z+1)2+cos(y) x^2) = 2x cdot ln(z+1)2+cos(y)
partialpartial y(y z) = z
partialpartial z(z y^2) = y^2
Então,
nabla cdot F = 2x cdot ln(z+1)2+cos(y) + z + y^2

Passo 5

Agora, precisamos integrar essa divergência sobre o volume V que está abaixo do paraboloide z = 4 - x^2 - y^2 e acima do plano z = 0. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, já que a região é circular.
As coordenadas polares são:
x = r cos(theta), y = r sin(theta), z = z
O limite para r será de 0 a 2 (pois quando z = 0, x^2 + y^2 = 4), e theta de 0 a 2pi.

Passo 6

Expressando a função nabla cdot F em coordenadas polares:
nabla cdot F = 2(r cos(theta)) cdot ln(z+1)2+cos(r sin(theta)) + z + (r sin(theta))^2
Agora, a integral de volume em coordenadas polares fica:
integral triplaV nabla cdot F dV = integral0^2pi integral0^2 integral0^4 - r^2 [2r cos(theta) cdot ln(z+1)2+cos(r sin(theta)) + z + r^2 sin^2(theta)] r dz dr dtheta

Passo 7

Vamos analisar os termos da integral:
  1. O primeiro termo envolve 2r cos(theta) cdot ln(z+1)2+cos(r sin(theta)). Devido à presença de cos(theta), ao integrar sobre theta de 0 a 2pi, esse termo se anula porque cos(theta) é uma função ímpar no intervalo simétrico.
  2. O segundo termo é z, que será integrado normalmente.
  3. O terceiro termo é r^2 sin^2(theta), e ao integrar sobre theta, utilizamos a identidade integral0^2pi sin^2(theta) dtheta = pi.

Passo 8

Simplificando a integral:
integral triplaV nabla cdot F dV = integral0^2pi integral0^2 [integral0^4 - r^2 z dz + integral0^4 - r^2 r^2 sin^2(theta) dz] r dr dtheta
Calculando as integrais internas:
integral0^4 - r^2 z dz = 12 z^2 |0^4 - r^2 = 12 (4 - r^2)^2
integral0^4 - r^2 r^2 sin^2(theta) dz = r^2 sin^2(theta) (4 - r^2)

Passo 9

Substituindo de volta:
integral triplaV nabla cdot F dV = integral0^2pi integral0^2 [12 (4 - r^2)^2 + r^2 sin^2(theta) (4 - r^2)] r dr dtheta
Separando as integrais:
= integral0^2pi integral0^2 12 (4 - r^2)^2 r dr dtheta + integral0^2pi integral0^2 r^3 sin^2(theta) (4 - r^2) dr dtheta

Passo 10

Calculando cada parte:
  1. Para a primeira integral:
integral0^2pi dtheta = 2pi
integral0^2 12 (4 - r^2)^2 r dr = 12 integral0^2 (16 - 8r^2 + r^4) r dr = 12 integral0^2 (16r - 8r^3 + r^5) dr = 12 [8r^2 - 2r^4 + r^66]0^2 = 12 [32 - 32 + 646] = 326 = 163
Então, a primeira parte é 2pi cdot 163 = 32pi3.
  1. Para a segunda integral, lembrando que integral0^2pi sin^2(theta) dtheta = pi:
pi integral0^2 r^3 (4 - r^2) dr = pi integral0^2 (4r^3 - r^5) dr = pi [4r^44 - r^66]0^2 = pi [16 - 646] = pi [16 - 323] = pi cdot 163 = 16pi3

Passo 11

Somando as duas partes:
32pi3 + 16pi3 = 48pi3 = 16pi

Resposta

A integral de superfície integral duplaS F cdot dS vale 16pi.

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