Seja *: A times A A uma operação associativa. Suponha que e, f in A são tais que para qualquer x in A valem as igualdades x * e=x e f * x=x.
Prove que e=f.

Passo 1

O enunciado fornece uma operação *: A times A to A associativa e dois elementos e,fin A tais que, para todo xin A, vale
x * e = x
e
f * x = x
O objetivo é mostrar que e=f.

Passo 2

Considere o elemento f * e.
Pela identidade à direita aplicando x*e=x com x=f, temos
f * e = f
Pela identidade à esquerda aplicando f*x=x com x=e, temos
f * e = e
Como ambos expressam o mesmo produto f*e, concluímos que
e = f

Resposta

e=f

Exercícios relacionados