Questão 4: Determine quais dos conjuntos são espaços vetoriais com as operações dadas. Para os que não são, liste todos os axiomas que falham.
O conjunto de todos os ternos ordenados
de números reais com as operações (
,
e
.
O conjunto de todos os ternos ordenados
Passo 1
O enunciado define
como o conjunto de todos os ternos ordenados
com a adição usual
e a multiplicação por escalar dada por
O conteúdo da matéria é espaço vetorial: precisamos verificar os axiomas de vetor e escalar. Se algum falhar,
não é espaço vetorial.
Passo 2
Verificamos rapidamente os axiomas relativos à adição:
- Fechamento: a soma de dois ternos é outro terno em
. - Comutatividade:
pela adição usual. - Associatividade: idem, porque é a adição em
. - Existência do elemento neutro:
satisfaz - Existência de inversos aditivos:
.
Portanto todos os axiomas de adição são cumpridos.
Passo 3
Agora os axiomas que envolvem escalar
e vetor
:
-
Fechamento:
pertence a . -
Distributividade em relação à soma de vetores:eLogo esse axioma é válido.
-
Compatibilidade com produto de escalares:Axioma válido.
-
Existência do escalar
agindo como identidade: Axioma válido.
Passo 4
O único axioma que resta é a distributividade em relação à soma de escalares, ou seja,
Mas
enquanto
Em geral
. Logo falha o axioma
Passo 5
Como não se cumpre a distributividade de escalares sobre escalares,
não é espaço vetorial. Ademais, disso decorre que a propriedade
também falha, pois
exceto nos casos especiais.
Resposta
(Como consequência, também falha a propriedade derivada
.)