Questão 4: Determine quais dos conjuntos são espaços vetoriais com as operações dadas. Para os que não são, liste todos os axiomas que falham.
O conjunto de todos os ternos ordenados (x, y, z) de números reais com as operações ( x, y, z)+(x^0, y^0, z^0)=(x+x^0, y+y^0, z+z^0) e k(x, y, z)=(k x, y, z), k in R.

Passo 1

O enunciado define V como o conjunto de todos os ternos ordenados (x,y,z) com a adição usual
(x,y,z)+(x^0,y^0,z^0)=(x+x^0,;y+y^0,;z+z^0)
e a multiplicação por escalar dada por
k,(x,y,z)=(k,x,;y,;z)
O conteúdo da matéria é espaço vetorial: precisamos verificar os axiomas de vetor e escalar. Se algum falhar, V não é espaço vetorial.

Passo 2

Verificamos rapidamente os axiomas relativos à adição:
  • Fechamento: a soma de dois ternos é outro terno em R^3.
  • Comutatividade: (x,y,z)+(x^0,y^0,z^0)=(x^0,y^0,z^0)+(x,y,z) pela adição usual.
  • Associatividade: idem, porque é a adição em R^3.
  • Existência do elemento neutro: (0,0,0) satisfaz (x,y,z)+(0,0,0)=(x,y,z)
  • Existência de inversos aditivos: (x,y,z)+(-x,-y,-z)=(0,0,0).
Portanto todos os axiomas de adição são cumpridos.

Passo 3

Agora os axiomas que envolvem escalar k e vetor u=(x,y,z):
  1. Fechamento: k,u=(k,x,y,z) pertence a V.
  2. Distributividade em relação à soma de vetores:
    kl((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)r) =k(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2) =(k x1+k x2,;y1+y2,;z1+z2)
    e
    k(x1,y1,z1)+k(x2,y2,z2) =(k x1,;y1,;z1)+(k x2,;y2,;z2) =(k x1+k x2,;y1+y2,;z1+z2)
    Logo esse axioma é válido.
  3. Compatibilidade com produto de escalares:
    (k,m),(x,y,z)=(k m,x,;y,;z) =kl(m,x,y,zr) =kl(m(x,y,z)r)
    Axioma válido.
  4. Existência do escalar 1 agindo como identidade:
    1,(x,y,z)=(1cdot x,y,z)=(x,y,z)
    Axioma válido.

Passo 4

O único axioma que resta é a distributividade em relação à soma de escalares, ou seja,
(k+m),u = k,u + m,u
Mas
(k+m),(x,y,z)=l((k+m)x,;y,;zr),
enquanto
k,(x,y,z)+m,(x,y,z) =(k x,y,z)+(m x,y,z) =l(k x+m x,;y+y,;z+zr) =l((k+m)x,;2y,;2zr)
Em geral l((k+m)x,y,zr)neql((k+m)x,2y,2zr). Logo falha o axioma
(k+m),u = k,u + m,u

Passo 5

Como não se cumpre a distributividade de escalares sobre escalares, V não é espaço vetorial. Ademais, disso decorre que a propriedade 0cdot u = (0,0,0) também falha, pois
0,(x,y,z)=(0,x,y,z?)=(0,y,z)neq(0,0,0)
exceto nos casos especiais.

Resposta

V não é espaço vetorial. Falha o axioma da distributividade em relação à soma de escalares:
(k+m),u = k,u + m,u
(Como consequência, também falha a propriedade derivada 0cdot u = 0.)

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