Consideremos um espaço vetorial V e um operador linear T: V V, com as propriedades dadas abaixo.
pT(x)=(x-2)^4(x+7)^2, mT(x)=(x-2)^2(x+7)^2 e mg(2)=2.
Determine a dimensão de V.

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear T:Vto V com polinômio característico
pT(x) = (x-2)^4(x+7)^2
e polinômio minimal
mT(x) = (x-2)^2(x+7)^2,
além de informar que a multiplicidade geométrica do autovalor 2 é mg(2)=2.
O que precisamos é encontrar dim V. Para isso vamos usar a relação fundamental de que o grau do polinômio característico é igual à dimensão de V.

Passo 2

Observe que
pT(x) = (x-2)^4(x+7)^2
é um polinômio de grau
4 + 2 = 6
Alternativamente, as multiplicidades algébricas dos autovalores são mu(2)=4 e mu(-7)=2, e a soma delas também dá 6.

Passo 3

Pelo teorema que afirma que deg pT = dim V, concluímos que
dim V = 6

Resposta

dim V = 6.

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